Номер 555, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

555. Какое множество точек задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) $(x-1)(y-1) \geq 0$;

б) $x^2 - y^2 > 0$?

а) Рассматриваем неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$.

Произведение двух сомножителей является неотрицательным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, то есть оба неотрицательны или оба неположительны.

Это приводит к совокупности двух систем неравенств:

1) Оба сомножителя неотрицательны:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ y - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 1 \end{cases}$

Это множество точек на координатной плоскости, для которых координата $x$ не меньше 1, а координата $y$ не меньше 1. Геометрически это замкнутый квадрант, ограниченный снизу прямой $y=1$ и слева прямой $x=1$.

2) Оба сомножителя неположительны:

$\begin{cases} x - 1 \le 0 \\ y - 1 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ y \le 1 \end{cases}$

Это множество точек, для которых координата $x$ не больше 1, а координата $y$ не больше 1. Геометрически это замкнутый квадрант, ограниченный сверху прямой $y=1$ и справа прямой $x=1$.

Итоговое множество точек является объединением этих двух областей. Границы областей, прямые $x=1$ и $y=1$, включены в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Ответ: Объединение двух замкнутых областей: первая определяется системой неравенств $x \ge 1$, $y \ge 1$, а вторая — системой $x \le 1$, $y \le 1$. Геометрически это пара вертикальных углов, образованных пересечением прямых $x=1$ и $y=1$, включая сами прямые.

б) Рассматриваем неравенство $x^2 - y^2 > 0$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к левой части неравенства:

$(x - y)(x + y) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, то есть оба положительны или оба отрицательны.

Это приводит к совокупности двух систем неравенств:

1) Оба сомножителя положительны:

$\begin{cases} x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < x \\ y > -x \end{cases}$

Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащая положительную часть оси Ox.

2) Оба сомножителя отрицательны:

$\begin{cases} x - y < 0 \\ x + y < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > x \\ y < -x \end{cases}$

Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащая отрицательную часть оси Ox.

Искомое множество точек является объединением этих двух областей. Граничные прямые $y=x$ и $y=-x$ не входят в решение, так как неравенство строгое ($>$). Неравенство $x^2 > y^2$ также можно записать как $|x| > |y|$, что означает, что искомые точки находятся "ближе" к оси Ox, чем к оси Oy.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри двух вертикальных углов, образованных пересекающимися прямыми $y=x$ и $y=-x$. Одна область содержит положительную полуось Ox, а другая — отрицательную полуось Ox. Границы этих областей (прямые $y=x$ и $y=-x$) не включаются в множество.