Номер 550, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

550. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

a) $y - 2x > 2$;

б) $x + y < -1$.

а) $y - 2x > 2$

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данного неравенства, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим граничное уравнение, заменив знак неравенства на знак равенства: $y - 2x = 2$.

2. Преобразуем это уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, чтобы было удобнее строить график. Перенесем $-2x$ в правую часть:

   $y = 2x + 2$

3. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения найдем координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

   • При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
   • При $x=-1$, $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

4. Начертим на координатной плоскости прямую, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(-1, 0)$. Так как исходное неравенство является строгим (знак "$>$"), точки на самой прямой не являются решениями. Поэтому прямую нужно изобразить пунктирной линией.

5. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$.

6. Подставим координаты контрольной точки $(0, 0)$ в исходное неравенство $y - 2x > 2$:

   $0 - 2 \cdot 0 > 2$

   $0 > 2$

   Полученное утверждение является ложным. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (область под прямой), не является решением неравенства. Следовательно, решением является другая полуплоскость — та, что находится выше прямой.

7. Заштриховываем область выше пунктирной прямой $y = 2x + 2$.

Ответ: Множество решений неравенства — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x + 2$, которая изображается пунктирной линией.

б) $x + y < -1$

Действуем аналогично предыдущему пункту:

1. Записываем граничное уравнение: $x + y = -1$.

2. Выражаем $y$ через $x$:

   $y = -x - 1$

3. Находим две точки для построения прямой:

   • При $x=0$, $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
   • При $y=0$, $0 = -x - 1$, откуда $x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.

4. Чертим прямую через точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$. Так как неравенство строгое (знак "$<$"), прямая должна быть пунктирной.

5. Выбираем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 0)$.

6. Подставляем ее координаты в исходное неравенство $x + y < -1$:

   $0 + 0 < -1$

   $0 < -1$

   Это утверждение ложно. Следовательно, полуплоскость, содержащая начало координат (область выше прямой), не является решением.

7. Решением является полуплоскость, расположенная с другой стороны от прямой, то есть ниже прямой $y = -x - 1$. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество решений неравенства — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x - 1$, которая изображается пунктирной линией.