Номер 545, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

545. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $V$ – объем бассейна, который для удобства примем равным 1.
Пусть $x$ – время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн, работая в одиночку.
Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{x}$ (часть бассейна в час).

Из условия известно, что первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. Это значит, что второй трубе требуется на 5 часов больше времени.
Пусть $y$ – время в часах, за которое вторая труба наполняет бассейн одна. Тогда $y = x + 5$.
Производительность второй трубы равна $p_2 = \frac{1}{y} = \frac{1}{x+5}$ (часть бассейна в час).

Согласно второму условию, бассейн можно наполнить, если первая труба проработает 5 часов, а затем вторая – 7,5 часов. Составим уравнение, исходя из того, что суммарная работа двух труб равна объему всего бассейна (то есть 1):

$5 \cdot p_1 + 7,5 \cdot p_2 = 1$

Подставим выражения для производительностей $p_1$ и $p_2$:

$\frac{5}{x} + \frac{7,5}{x+5} = 1$

Решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+5)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (что очевидно, так как время не может быть отрицательным или нулевым).

$5(x+5) + 7,5x = x(x+5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5x + 25 + 7,5x = x^2 + 5x$

$12,5x + 25 = x^2 + 5x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 5x - 12,5x - 25 = 0$

$x^2 - 7,5x - 25 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2x^2 - 15x - 50 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2 = -2,5$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет $x = 10$ часов.

Тогда время наполнения бассейна второй трубой:

$y = x + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб. Общая производительность $p_{общ}$ равна сумме производительностей каждой трубы:

$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$p_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ (часть бассейна в час).

Время $T$, необходимое для наполнения всего бассейна при совместной работе, является величиной, обратной общей производительности:

$T = \frac{1}{p_{общ}} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.