Номер 546, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

546. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли другую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ часов — это время, за которое первая труба может наполнить бассейн, работая в одиночку. Тогда ее производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Пусть $y$ часов — это время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая в одиночку. Тогда ее производительность составляет $\frac{1}{y}$ бассейна в час.

Из условия известно, что вторая труба может наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем первая. Это значит, что второй трубе требуется в 1,5 раза меньше времени для выполнения той же работы. Отсюда получаем первое уравнение:
$x = 1.5y$

Далее, по условию, сначала первая труба работала одна в течение 2 часов. Объем воды, который она налила за это время, равен:
$V_1 = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

После этого открыли вторую трубу, и обе трубы работали вместе еще 4 часа. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:
$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

За 4 часа совместной работы они наполнили объем воды, равный:
$V_2 = 4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{4}{x} + \frac{4}{y}$

Суммарный объем воды, налитый в бассейн, равен 1 (полный бассейн). Складывая объемы $V_1$ и $V_2$, получаем второе уравнение:
$\frac{2}{x} + \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1$
Упростим его:
$\frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 1$

Теперь решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x = 1.5y \\ \frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{6}{1.5y} + \frac{4}{y} = 1$

Поскольку $1.5 = \frac{3}{2}$, уравнение можно переписать так:
$\frac{6}{\frac{3}{2}y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{6 \cdot 2}{3y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{12}{3y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{4}{y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{8}{y} = 1$
$y = 8$

Итак, время наполнения бассейна только второй трубой составляет 8 часов.

Теперь найдем время для первой трубы, используя первое уравнение:
$x = 1.5 \cdot y = 1.5 \cdot 8 = 12$

Время наполнения бассейна только первой трубой составляет 12 часов.

Проверка:
Производительность первой трубы - $\frac{1}{12}$ бассейна/час. Производительность второй - $\frac{1}{8}$ бассейна/час.
За 2 часа первая труба наполнит $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ бассейна.
За 4 часа совместной работы будет наполнено $4 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{8}) = 4 \cdot (\frac{2+3}{24}) = 4 \cdot \frac{5}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ бассейна.
Общая наполненная часть: $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Бассейн полон. Расчеты верны.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая труба — за 8 часов.