Страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

544. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров.

Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон. По условию задачи, диагональ равна 15 см. На основе этого мы можем составить первое уравнение:
$a^2 + b^2 = 15^2$
$a^2 + b^2 = 225$

Периметр исходного прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Далее, по условию, одну из сторон уменьшают на 6 см, а другую — на 8 см. Новые длины сторон становятся $(a - 6)$ см и $(b - 8)$ см. Это означает, что исходные стороны должны быть больше, чем величина их уменьшения, то есть $a > 6$ и $b > 8$ (или $a > 8$ и $b > 6$).

Периметр нового, уменьшенного прямоугольника равен $P' = 2((a - 6) + (b - 8))$. Упростим это выражение:
$P' = 2(a + b - 14)$

В задаче сказано, что периметр уменьшился в 3 раза, то есть $P = 3P'$. Используя это соотношение, составим второе уравнение:
$2(a + b) = 3 \cdot P'$
$2(a + b) = 3 \cdot 2(a + b - 14)$

Сократим обе части уравнения на 2 и решим его относительно $a+b$:
$a + b = 3(a + b - 14)$
$a + b = 3a + 3b - 42$
$42 = 3a - a + 3b - b$
$42 = 2a + 2b$
$a + b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a^2 + b^2 = 225$
2) $a + b = 21$

Для решения системы выразим $b$ из второго уравнения: $b = 21 - a$.

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение:
$a^2 + (21 - a)^2 = 225$
$a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225$
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$
$2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0$
$2a^2 - 42a + 216 = 0$

Разделим все члены квадратного уравнения на 2 для его упрощения:
$a^2 - 21a + 108 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 21, а их произведение равно 108. Такими числами являются 9 и 12.
Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 9$ и $a_2 = 12$.

Найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя формулу $b = 21 - a$:
Если $a = 9$ см, то $b = 21 - 9 = 12$ см.
Если $a = 12$ см, то $b = 21 - 12 = 9$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.

Проведем проверку.
1. Проверка диагонали: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Корень из 225 равен 15. Условие выполняется.
2. Проверка периметров:
Исходный периметр: $P = 2(9 + 12) = 2 \cdot 21 = 42$ см.
Уменьшим стороны: одну на 6 см (например, 12-6=6 см), другую на 8 см (9-8=1 см).
Новый периметр: $P' = 2(6 + 1) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Соотношение периметров: $P / P' = 42 / 14 = 3$. Условие также выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.

545. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $V$ – объем бассейна, который для удобства примем равным 1.
Пусть $x$ – время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн, работая в одиночку.
Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{x}$ (часть бассейна в час).

Из условия известно, что первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. Это значит, что второй трубе требуется на 5 часов больше времени.
Пусть $y$ – время в часах, за которое вторая труба наполняет бассейн одна. Тогда $y = x + 5$.
Производительность второй трубы равна $p_2 = \frac{1}{y} = \frac{1}{x+5}$ (часть бассейна в час).

Согласно второму условию, бассейн можно наполнить, если первая труба проработает 5 часов, а затем вторая – 7,5 часов. Составим уравнение, исходя из того, что суммарная работа двух труб равна объему всего бассейна (то есть 1):

$5 \cdot p_1 + 7,5 \cdot p_2 = 1$

Подставим выражения для производительностей $p_1$ и $p_2$:

$\frac{5}{x} + \frac{7,5}{x+5} = 1$

Решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+5)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (что очевидно, так как время не может быть отрицательным или нулевым).

$5(x+5) + 7,5x = x(x+5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5x + 25 + 7,5x = x^2 + 5x$

$12,5x + 25 = x^2 + 5x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 5x - 12,5x - 25 = 0$

$x^2 - 7,5x - 25 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2x^2 - 15x - 50 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2 = -2,5$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет $x = 10$ часов.

Тогда время наполнения бассейна второй трубой:

$y = x + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб. Общая производительность $p_{общ}$ равна сумме производительностей каждой трубы:

$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$p_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ (часть бассейна в час).

Время $T$, необходимое для наполнения всего бассейна при совместной работе, является величиной, обратной общей производительности:

$T = \frac{1}{p_{общ}} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

546. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли другую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ часов — это время, за которое первая труба может наполнить бассейн, работая в одиночку. Тогда ее производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Пусть $y$ часов — это время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая в одиночку. Тогда ее производительность составляет $\frac{1}{y}$ бассейна в час.

Из условия известно, что вторая труба может наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем первая. Это значит, что второй трубе требуется в 1,5 раза меньше времени для выполнения той же работы. Отсюда получаем первое уравнение:
$x = 1.5y$

Далее, по условию, сначала первая труба работала одна в течение 2 часов. Объем воды, который она налила за это время, равен:
$V_1 = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

После этого открыли вторую трубу, и обе трубы работали вместе еще 4 часа. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:
$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

За 4 часа совместной работы они наполнили объем воды, равный:
$V_2 = 4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{4}{x} + \frac{4}{y}$

Суммарный объем воды, налитый в бассейн, равен 1 (полный бассейн). Складывая объемы $V_1$ и $V_2$, получаем второе уравнение:
$\frac{2}{x} + \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1$
Упростим его:
$\frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 1$

Теперь решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x = 1.5y \\ \frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{6}{1.5y} + \frac{4}{y} = 1$

Поскольку $1.5 = \frac{3}{2}$, уравнение можно переписать так:
$\frac{6}{\frac{3}{2}y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{6 \cdot 2}{3y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{12}{3y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{4}{y} + \frac{4}{y} = 1$
$\frac{8}{y} = 1$
$y = 8$

Итак, время наполнения бассейна только второй трубой составляет 8 часов.

Теперь найдем время для первой трубы, используя первое уравнение:
$x = 1.5 \cdot y = 1.5 \cdot 8 = 12$

Время наполнения бассейна только первой трубой составляет 12 часов.

Проверка:
Производительность первой трубы - $\frac{1}{12}$ бассейна/час. Производительность второй - $\frac{1}{8}$ бассейна/час.
За 2 часа первая труба наполнит $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ бассейна.
За 4 часа совместной работы будет наполнено $4 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{8}) = 4 \cdot (\frac{2+3}{24}) = 4 \cdot \frac{5}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ бассейна.
Общая наполненная часть: $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Бассейн полон. Расчеты верны.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая труба — за 8 часов.

547. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч. Общее расстояние между городами $S = 270$ км.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу и встречаются через 3 часа, их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. За время до встречи они вместе проходят все расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Разделив обе части на 3, получим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = 90$

Отсюда можно выразить скорость второго поезда: $v_2 = 90 - v_1$.

По условию, один из поездов тратит на весь путь на 1 час 21 минуту больше, чем другой. Переведем эту разницу во времени в часы:

$\Delta t = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин} = 1 + \frac{21}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{7}{20} \text{ ч} = \frac{27}{20} \text{ ч}$.

Время, которое каждый поезд тратит на весь путь $S = 270$ км, определяется как $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{270}{v_1}$ и $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{270}{v_2}$. Предположим, что первый поезд медленнее второго ($v_1 < v_2$), тогда его время в пути будет больше ($t_1 > t_2$). Разница во времени дает нам второе уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20}$

Теперь составим систему уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20} \end{cases}$

Подставим выражение $v_2 = 90 - v_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{270}{v_1} - \frac{270}{90 - v_1} = \frac{27}{20}$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 27:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{90 - v_1} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(90 - v_1)$:

$\frac{10(90 - v_1) - 10v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 10v_1 - 10v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 20v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$20(900 - 20v_1) = 1 \cdot (90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 - 400v_1 - 90v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$.

Теперь найдем два возможных значения для $v_1$ по формуле корней квадратного уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-(-490) + 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-(-490) - 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня. Скорость поезда должна быть положительной величиной, а их сумма должна быть равна 90 км/ч.

1. Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.

2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Оба значения положительны. Проверим разницу во времени: время первого поезда $t_1 = \frac{270}{40} = 6.75$ ч, время второго поезда $t_2 = \frac{270}{50} = 5.4$ ч. Разница $t_1 - t_2 = 6.75 - 5.4 = 1.35$ ч. $1.35 \text{ ч} = 1 \text{ ч } + 0.35 \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин}$. Это соответствует условию задачи.

Следовательно, скорости поездов равны 40 км/ч и 50 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

548. Из пунктов $M$ и $N$ выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришёл в $N$ через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в $M$ через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами $M$ и $N$ равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей соответственно. Пусть первый автомобиль выехал из пункта $M$ (и движется в $N$), а второй — из пункта $N$ (и движется в $M$). Обозначим время, прошедшее от начала движения до встречи, как $t$. Общее расстояние между пунктами $S = 90$ км.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 t$, а второй — $S_2 = v_2 t$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию: $S_1 + S_2 = (v_1 + v_2)t = 90$ км.

После встречи первому автомобилю (который едет в $N$) осталось проехать расстояние $S_2$. По условию, он затратил на это время $t_1 = 1$ ч $15$ мин. Второй автомобиль (который едет в $M$) осталось проехать расстояние $S_1$. Он затратил на это время $t_2 = 48$ мин.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_1 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{5}{4} \text{ ч}$.
$t_2 = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч}$.

Теперь запишем уравнения для расстояний, пройденных после встречи:
$S_2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{5}{4}$.
$S_1 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{4}{5}$.

Вспомним, что $S_1 = v_1 t$ и $S_2 = v_2 t$. Приравняем выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 t = v_2 \cdot \frac{4}{5}$ (1)
$v_2 t = v_1 \cdot \frac{5}{4}$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{v_2 t}{v_1 t} = \frac{v_1 \cdot \frac{5}{4}}{v_2 \cdot \frac{4}{5}}$
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{5}{4} v_1}{\frac{4}{5} v_2}$

Перегруппируем члены, чтобы найти отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{v_2}{v_1} = \frac{5/4}{4/5}$
$(\frac{v_2}{v_1})^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$
Отсюда получаем, что $v_2 = \frac{5}{4} v_1$.

Общее расстояние $S$ равно сумме расстояний $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = 90$ км.
Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ через скорости и время, затраченное после встречи:
$v_2 \cdot \frac{4}{5} + v_1 \cdot \frac{5}{4} = 90$

Теперь заменим $v_2$ на $\frac{5}{4} v_1$ в этом уравнении:
$(\frac{5}{4} v_1) \cdot \frac{4}{5} + v_1 \cdot \frac{5}{4} = 90$
$v_1 + \frac{5}{4} v_1 = 90$
$v_1 (1 + \frac{5}{4}) = 90$
$v_1 (\frac{4}{4} + \frac{5}{4}) = 90$
$v_1 \cdot \frac{9}{4} = 90$
$v_1 = 90 \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot 4 = 40$ км/ч.

Найдем скорость второго автомобиля:
$v_2 = \frac{5}{4} v_1 = \frac{5}{4} \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50$ км/ч.

Таким образом, скорости автомобилей составляют 40 км/ч и 50 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

549. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Первый вышел из $A$ на 6 ч позже, чем второй из $B$, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в $B$ через 8 ч, а второй — в $A$ через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Обозначим скорости туристов $v_1$ (первого, из пункта А) и $v_2$ (второго, из пункта В) в км/ч. Пусть $t$ — время, которое был в пути первый турист до встречи (в часах). Поскольку он вышел на 6 часов позже второго, то второй турист до встречи был в пути $t + 6$ часов.

Пусть M — точка их встречи. Расстояние, которое прошел первый турист до встречи, равно $S_{AM}$, а расстояние, которое прошел второй, — $S_{MB}$.

Исходя из условия, составим уравнения:

1. Расстояние, пройденное первым туристом до встречи: $S_{AM} = v_1 \cdot t$.

2. Расстояние, пройденное вторым туристом до встречи: $S_{MB} = v_2 \cdot (t + 6)$.

3. При встрече оказалось, что первый прошел на 12 км меньше второго:

$S_{AM} = S_{MB} - 12 \implies v_1 t = v_2 (t+6) - 12$.

4. После встречи первый турист прошел оставшийся путь ($S_{MB}$) до пункта В за 8 часов:

$S_{MB} = v_1 \cdot 8$.

5. Второй турист после встречи прошел оставшийся путь ($S_{AM}$) до пункта А за 9 часов:

$S_{AM} = v_2 \cdot 9$.

Теперь у нас есть система уравнений для решения задачи. Приравняем выражения для $S_{AM}$ и $S_{MB}$:

$v_1 t = 9v_2 \implies t = \frac{9v_2}{v_1}$

$v_2 (t+6) = 8v_1 \implies t+6 = \frac{8v_1}{v_2}$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:

$\frac{9v_2}{v_1} + 6 = \frac{8v_1}{v_2}$

Это уравнение связывает скорости $v_1$ и $v_2$. Умножим обе части уравнения на $v_1 v_2$, чтобы избавиться от знаменателей (скорости не могут быть равны нулю):

$9v_2^2 + 6v_1 v_2 = 8v_1^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить уравнение, похожее на квадратное:

$8v_1^2 - 6v_1 v_2 - 9v_2^2 = 0$

Разделим все уравнение на $v_2^2$ (так как $v_2 \neq 0$) и введем замену $x = \frac{v_1}{v_2}$:

$8(\frac{v_1}{v_2})^2 - 6(\frac{v_1}{v_2}) - 9 = 0$

$8x^2 - 6x - 9 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 18}{16}$

Получаем два возможных значения для отношения скоростей:

$x_1 = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{6 - 18}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

Поскольку скорости являются положительными величинами, их отношение также должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем $x_1 = \frac{3}{2}$.

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2} \implies v_1 = \frac{3}{2} v_2$.

Теперь вернемся к одному из начальных условий. Подставим выражения $S_{AM} = 9v_2$ и $S_{MB} = 8v_1$ в уравнение о разности расстояний $S_{AM} = S_{MB} - 12$:

$9v_2 = 8v_1 - 12$

Теперь подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{3}{2} v_2$:

$9v_2 = 8 \cdot (\frac{3}{2} v_2) - 12$

$9v_2 = 12v_2 - 12$

$3v_2 = 12$

$v_2 = 4$

Скорость второго туриста равна 4 км/ч. Теперь найдем скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{3}{2} v_2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

Скорость первого туриста равна 6 км/ч.

Ответ: скорость первого туриста — 6 км/ч, скорость второго туриста — 4 км/ч.

550. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

a) $y - 2x > 2$;

б) $x + y < -1$.

а) $y - 2x > 2$

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данного неравенства, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим граничное уравнение, заменив знак неравенства на знак равенства: $y - 2x = 2$.

2. Преобразуем это уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$, чтобы было удобнее строить график. Перенесем $-2x$ в правую часть:

   $y = 2x + 2$

3. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения найдем координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

   • При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
   • При $x=-1$, $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

4. Начертим на координатной плоскости прямую, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(-1, 0)$. Так как исходное неравенство является строгим (знак "$>$"), точки на самой прямой не являются решениями. Поэтому прямую нужно изобразить пунктирной линией.

5. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$.

6. Подставим координаты контрольной точки $(0, 0)$ в исходное неравенство $y - 2x > 2$:

   $0 - 2 \cdot 0 > 2$

   $0 > 2$

   Полученное утверждение является ложным. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (область под прямой), не является решением неравенства. Следовательно, решением является другая полуплоскость — та, что находится выше прямой.

7. Заштриховываем область выше пунктирной прямой $y = 2x + 2$.

Ответ: Множество решений неравенства — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x + 2$, которая изображается пунктирной линией.

б) $x + y < -1$

Действуем аналогично предыдущему пункту:

1. Записываем граничное уравнение: $x + y = -1$.

2. Выражаем $y$ через $x$:

   $y = -x - 1$

3. Находим две точки для построения прямой:

   • При $x=0$, $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
   • При $y=0$, $0 = -x - 1$, откуда $x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.

4. Чертим прямую через точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$. Так как неравенство строгое (знак "$<$"), прямая должна быть пунктирной.

5. Выбираем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 0)$.

6. Подставляем ее координаты в исходное неравенство $x + y < -1$:

   $0 + 0 < -1$

   $0 < -1$

   Это утверждение ложно. Следовательно, полуплоскость, содержащая начало координат (область выше прямой), не является решением.

7. Решением является полуплоскость, расположенная с другой стороны от прямой, то есть ниже прямой $y = -x - 1$. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество решений неравенства — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x - 1$, которая изображается пунктирной линией.

551. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4;$

б) $y \le x^2 - 5x + 6.$

а)

Данное неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$.

Сначала рассмотрим соответствующее равенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения находим:

• Координаты центра окружности: $x_0 = 3$, $y_0 = -3$. Таким образом, центр находится в точке $C(3, -3)$.
• Радиус окружности: $R^2 = 4$, следовательно, $R = \sqrt{4} = 2$.

Неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$ является нестрогим, это означает, что точки, лежащие на самой окружности, также являются решением. Поэтому граница множества — окружность — изображается сплошной линией.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат расстояния от произвольной точки $(x, y)$ до центра $(3, -3)$. Неравенство требует, чтобы это расстояние было меньше или равно радиусу $2$. Это условие выполняется для всех точек, находящихся внутри окружности и на её границе.

Таким образом, искомое множество точек — это круг (окружность вместе с её внутренней областью).

Ответ: Множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой круг с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $2$. Граница круга (окружность) включена в множество.

б)

Данное неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$.

Границей искомого множества является график функции $y = x^2 - 5x + 6$. Это квадратичная функция, её график — парабола.

Проанализируем параболу:

• Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
  $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$.
  $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
  Вершина параболы находится в точке $(2.5, -0.25)$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  При $x = 0$, $y = 6$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 6)$.
  При $y = 0$, решаем уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с осью OX: $(2, 0)$ и $(3, 0)$.

Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ является нестрогим, поэтому точки, лежащие на самой параболе, включаются в решение. Граница (парабола) изображается сплошной линией.

Неравенство определяет все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна ординате точек на параболе при том же значении $x$. Геометрически это соответствует области, расположенной под параболой.

Для проверки можно взять пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \le 0^2 - 5 \cdot 0 + 6$, что дает $0 \le 6$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, является частью решения. Эта область находится под параболой.

Ответ: Множество точек, задаваемое данным неравенством, — это часть координатной плоскости, расположенная ниже параболы $y = x^2 - 5x + 6$, включая саму параболу.

552. Где на координатной плоскости расположены точки, у которых:

a) абсцисса больше ординаты;

б) ордината больше абсциссы?

а) абсцисса больше ординаты;

Пусть координаты точки на плоскости равны $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса (координата по горизонтальной оси), а $y$ — это ордината (координата по вертикальной оси). Условие, что абсцисса больше ординаты, можно записать в виде неравенства: $x > y$, или, что эквивалентно, $y < x$.

Чтобы понять, где находятся такие точки, рассмотрим сначала граничный случай — равенство $y = x$. Это уравнение задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Эта прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, а также через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(-1, -1)$ и так далее.

Прямая $y = x$ делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. В одной из них выполняется неравенство $y < x$, а в другой — $y > x$. Чтобы определить, какая полуплоскость нам нужна, можно взять любую пробную точку, не лежащую на прямой. Например, возьмем точку $(2, 1)$. Для этой точки абсцисса $x=2$, а ордината $y=1$. Неравенство $2 > 1$ верно. Точка $(2, 1)$ лежит ниже прямой $y=x$. Следовательно, все точки, удовлетворяющие условию $x > y$, находятся в полуплоскости, расположенной ниже прямой $y=x$. Сама прямая в это множество не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: Точки, у которых абсцисса больше ординаты, расположены в полуплоскости, лежащей ниже прямой $y = x$.

б) ордината больше абсциссы?

Это условие для точки с координатами $(x, y)$ записывается в виде неравенства: $y > x$.

Как и в предыдущем случае, границей является прямая $y = x$. Нам нужно определить, по какую сторону от этой прямой лежат точки, удовлетворяющие неравенству $y > x$. Возьмем пробную точку, например, $(1, 3)$. Для этой точки абсцисса $x=1$, а ордината $y=3$. Неравенство $3 > 1$ верно. Точка $(1, 3)$ находится выше прямой $y=x$. Значит, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная над прямой $y=x$. Сама прямая в это множество не включается из-за строгости неравенства.

Ответ: Точки, у которых ордината больше абсциссы, расположены в полуплоскости, лежащей выше прямой $y = x$.