Страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

526. При каких значениях $m$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = m \end{cases}$ имеет: а) одно решение; б) два решения?

Данная система уравнений состоит из уравнения окружности и уравнения прямой. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения их графиков. Для нахождения этих точек решим систему аналитически, методом подстановки.

Система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = m \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + m$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + m)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:
$(y^2 + 2my + m^2) + y^2 = 5$
$2y^2 + 2my + m^2 - 5 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (и, следовательно, всей системы) зависит от знака его дискриминанта $D$. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 2m$, $c = m^2 - 5$.

Найдем дискриминант:
$D = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5)$
$D = 4m^2 - 8(m^2 - 5)$
$D = 4m^2 - 8m^2 + 40$
$D = 40 - 4m^2$

а) одно решение

Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один корень, то есть когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$).
$40 - 4m^2 = 0$
$4m^2 = 40$
$m^2 = 10$
$m = \pm\sqrt{10}$
Геометрически это означает, что прямая $x - y = m$ является касательной к окружности $x^2 + y^2 = 5$.
Ответ: при $m = \sqrt{10}$ и $m = -\sqrt{10}$.

б) два решения

Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных корня, то есть когда его дискриминант больше нуля ($D > 0$).
$40 - 4m^2 > 0$
$40 > 4m^2$
$10 > m^2$
$m^2 < 10$
Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{10} < m < \sqrt{10}$.
Геометрически это означает, что прямая $x - y = m$ пересекает окружность $x^2 + y^2 = 5$ в двух точках.
Ответ: при $m \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.

527. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + 3y = -1, \\ x^2 + 2xy + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 1, \\ xy - y^2 + 3x = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y - 11 = 0, \\ 2x + 5y - y^2 - 6 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5x - 2y = 26, \\ x - y = 4; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 4x^2 - 9y^2 + x - 40y = 19, \\ 2x - 3y = 5; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5, \\ x - y + 2 = 0. \end{cases}$

а)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} x + 3y = -1, \\ x^2 + 2xy + y = 3. \end{cases} $
Это система нелинейных уравнений. Для её решения удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого, линейного, уравнения:$ x = -1 - 3y $.
Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$ (-1 - 3y)^2 + 2(-1 - 3y)y + y = 3 $.
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:$ (1 + 6y + 9y^2) - 2y - 6y^2 + y = 3 $.
Приведем подобные слагаемые:$ (9y^2 - 6y^2) + (6y - 2y + y) + 1 = 3 $$ 3y^2 + 5y + 1 = 3 $$ 3y^2 + 5y - 2 = 0 $.
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:$ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.
Найдем корни уравнения:$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = -1 - 3y$.
При $y_1 = \frac{1}{3}$:$ x_1 = -1 - 3 \cdot \frac{1}{3} = -1 - 1 = -2 $.
При $y_2 = -2$:$ x_2 = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5 $.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-2, \frac{1}{3}), (5, -2)$.

б)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ xy - y^2 + 3x = -1. \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:$ y = 2x - 1 $.
Подставим это выражение во второе уравнение:$ x(2x - 1) - (2x - 1)^2 + 3x = -1 $.
Раскроем скобки и упростим:$ 2x^2 - x - (4x^2 - 4x + 1) + 3x = -1 $$ 2x^2 - x - 4x^2 + 4x - 1 + 3x = -1 $.
Приведем подобные слагаемые:$ (2x^2 - 4x^2) + (-x + 4x + 3x) - 1 = -1 $$ -2x^2 + 6x - 1 = -1 $$ -2x^2 + 6x = 0 $.
Разделим уравнение на $-2$:$ x^2 - 3x = 0 $.
Вынесем $x$ за скобку:$ x(x - 3) = 0 $.
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:$ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 3 $.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 1$.
При $x_1 = 0$:$ y_1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1 $.
При $x_2 = 3$:$ y_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 $.
Система имеет два решения.
Ответ: $(0, -1), (3, 5)$.

в)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 2x + y - 11 = 0, \\ 2x + 5y - y^2 - 6 = 0. \end{cases} $
Заметим, что в обоих уравнениях присутствует слагаемое $2x$. Выразим его из первого уравнения:$ 2x = 11 - y $.
Подставим это выражение во второе уравнение:$ (11 - y) + 5y - y^2 - 6 = 0 $.
Упростим полученное уравнение:$ -y^2 + (5y - y) + (11 - 6) = 0 $$ -y^2 + 4y + 5 = 0 $.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $y^2$ стал положительным:$ y^2 - 4y - 5 = 0 $.
Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:$ y_1 = 5, y_2 = -1 $.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $2x = 11 - y$, или $x = \frac{11 - y}{2}$.
При $y_1 = 5$:$ x_1 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.
При $y_2 = -1$:$ x_2 = \frac{11 - (-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6 $.
Система имеет два решения.
Ответ: $(3, 5), (6, -1)$.

г)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5x - 2y = 26, \\ x - y = 4. \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:$ x = y + 4 $.
Подставим это выражение в первое уравнение:$ 2(y + 4)^2 - 3y^2 - 5(y + 4) - 2y = 26 $.
Раскроем скобки:$ 2(y^2 + 8y + 16) - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26 $.$ 2y^2 + 16y + 32 - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26 $.
Приведем подобные слагаемые:$ (2y^2 - 3y^2) + (16y - 5y - 2y) + (32 - 20) = 26 $$ -y^2 + 9y + 12 = 26 $$ -y^2 + 9y - 14 = 0 $.
Умножим на $-1$:$ y^2 - 9y + 14 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета корни:$ y_1 = 2, y_2 = 7 $.
Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 4$.
При $y_1 = 2$:$ x_1 = 2 + 4 = 6 $.
При $y_2 = 7$:$ x_2 = 7 + 4 = 11 $.
Система имеет два решения.
Ответ: $(6, 2), (11, 7)$.

д)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 4x^2 - 9y^2 + x - 40y = 19, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases} $
Заметим, что выражение $4x^2 - 9y^2$ в первом уравнении является разностью квадратов:$ 4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) $.
Перепишем первое уравнение с учетом этого:$ (2x - 3y)(2x + 3y) + x - 40y = 19 $.
Из второго уравнения системы мы знаем, что $2x - 3y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:$ 5(2x + 3y) + x - 40y = 19 $.
Раскроем скобки и упростим:$ 10x + 15y + x - 40y = 19 $$ 11x - 25y = 19 $.
Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:$ \begin{cases} 11x - 25y = 19, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 11, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:$ \begin{cases} 22x - 50y = 38, \\ 22x - 33y = 55. \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:$ (22x - 50y) - (22x - 33y) = 38 - 55 $$ -50y + 33y = -17 $$ -17y = -17 $$ y = 1 $.
Подставим найденное значение $y$ в уравнение $2x - 3y = 5$:$ 2x - 3(1) = 5 $$ 2x - 3 = 5 $$ 2x = 8 $$ x = 4 $.
Система имеет одно решение.
Ответ: $(4, 1)$.

е)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5, \\ x - y + 2 = 0. \end{cases} $
Методом подстановки решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$:$ y = x + 2 $.
Подставим это выражение в первое уравнение:$ 3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5 $.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$ 3x^2 + (x^2 + 4x + 4) + 8x + 13x + 26 = 5 $$ (3x^2 + x^2) + (4x + 8x + 13x) + (4 + 26) = 5 $$ 4x^2 + 25x + 30 = 5 $$ 4x^2 + 25x + 25 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$ D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2 $.
Найдем корни:$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} $.$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5 $.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x + 2$.
При $x_1 = -\frac{5}{4}$:$ y_1 = -\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4} $.
При $x_2 = -5$:$ y_2 = -5 + 2 = -3 $.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}), (-5, -3)$.

528. Найдите все решения системы уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 4 \\ (x - 1)(y + 1) = 2xy + 3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - x = 1 \\ (2y + 1)(x - 1) = xy + 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ (x + 1)(y + 4) = 2xy - 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 1 \\ (x - 1)(y + 5) = y^2 - 12 \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 4 \\ (x - 1)(y + 1) = 2xy + 3 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$((y + 4) - 1)(y + 1) = 2(y + 4)y + 3$

Упростим и раскроем скобки:

$(y + 3)(y + 1) = 2y^2 + 8y + 3$

$y^2 + y + 3y + 3 = 2y^2 + 8y + 3$

$y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 8y + 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - y^2 + 8y - 4y + 3 - 3 = 0$

$y^2 + 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 4$:

При $y_1 = 0$, $x_1 = 0 + 4 = 4$.

При $y_2 = -4$, $x_2 = -4 + 4 = 0$.

Таким образом, решения системы: $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Ответ: $(4, 0)$, $(0, -4)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y - x = 1 \\ (2y + 1)(x - 1) = xy + 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = x + 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2(x + 1) + 1)(x - 1) = x(x + 1) + 1$

Упростим и раскроем скобки:

$(2x + 2 + 1)(x - 1) = x^2 + x + 1$

$(2x + 3)(x - 1) = x^2 + x + 1$

$2x^2 - 2x + 3x - 3 = x^2 + x + 1$

$2x^2 + x - 3 = x^2 + x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - x^2 + x - x - 3 - 1 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив на множители:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x + 1$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 + 1 = 3$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Решения системы: $(2, 3)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -1)$.

в) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ (x + 1)(y + 4) = 2xy - 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x - 5$.

Подставим во второе уравнение:

$(x + 1)((2x - 5) + 4) = 2x(2x - 5) - 1$

Упростим и раскроем скобки:

$(x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 10x - 1$

$2x^2 - x + 2x - 1 = 4x^2 - 10x - 1$

$2x^2 + x - 1 = 4x^2 - 10x - 1$

Приведем подобные члены:

$4x^2 - 2x^2 - 10x - x - 1 + 1 = 0$

$2x^2 - 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 11) = 0$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$

$2x_2 - 11 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{11}{2}$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 5$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2(0) - 5 = -5$.

При $x_2 = \frac{11}{2}$, $y_2 = 2(\frac{11}{2}) - 5 = 11 - 5 = 6$.

Решения системы: $(0, -5)$ и $(\frac{11}{2}, 6)$.

Ответ: $(0, -5)$, $(\frac{11}{2}, 6)$.

г) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ (x - 1)(y + 5) = y^2 - 12 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 1 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$((1 - y) - 1)(y + 5) = y^2 - 12$

$(-y)(y + 5) = y^2 - 12$

Раскроем скобки:

$-y^2 - 5y = y^2 - 12$

Перенесем все в одну сторону:

$y^2 + y^2 + 5y - 12 = 0$

$2y^2 + 5y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4(2)(-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$y_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 1 - y$:

При $y_1 = -4$, $x_1 = 1 - (-4) = 5$.

При $y_2 = \frac{3}{2}$, $x_2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Решения системы: $(5, -4)$ и $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(5, -4)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.

529. Решите систему уравнений:

a) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ xy = -12; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 228, \\ 3x^2 - 2y^2 = 172. \end{cases} $$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ xy = -12. \end{cases} $
Это симметричная система уравнений. Чтобы ее решить, можно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Подставим в нее известные значения из уравнений системы:
$(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2(xy) = 40 + 2(-12) = 40 - 24 = 16$.
Из этого следует, что $x+y$ может принимать два значения: $x+y = \sqrt{16} = 4$ или $x+y = -\sqrt{16} = -4$.
Это позволяет нам разбить исходную систему на две более простые системы, которые мы решим по отдельности.

1) Первая система: $ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = -12. \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t - 12 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4+8}{2} = 6$.
$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4-8}{2} = -2$.
Таким образом, если $x=6$, то $y=-2$, и если $x=-2$, то $y=6$. Мы получили две пары решений: $(6, -2)$ и $(-2, 6)$.

2) Вторая система: $ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = -12. \end{cases} $
Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t - 12 = 0$, то есть $t^2 + 4t - 12 = 0$.
Найдем корни: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4+8}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4-8}{2} = -6$.
Таким образом, если $x=2$, то $y=-6$, и если $x=-6$, то $y=2$. Мы получили еще две пары решений: $(2, -6)$ и $(-6, 2)$.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем полный набор решений для исходной системы.
Ответ: $(6, -2)$, $(-2, 6)$, $(2, -6)$, $(-6, 2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 228, \\ 3x^2 - 2y^2 = 172. \end{cases} $
Эта система является линейной относительно переменных $x^2$ и $y^2$. Для ее решения удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части первого и второго уравнений:
$(x^2 + 2y^2) + (3x^2 - 2y^2) = 228 + 172$
При сложении члены $2y^2$ и $-2y^2$ взаимно уничтожаются:
$4x^2 = 400$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x^2 = 100$
Из этого уравнения находим значения для $x$: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Теперь подставим значение $x^2 = 100$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y^2$:
$100 + 2y^2 = 228$
$2y^2 = 228 - 100$
$2y^2 = 128$
Разделим обе части на 2:
$y^2 = 64$
Из этого уравнения находим значения для $y$: $y_1 = 8$ и $y_2 = -8$.

Поскольку мы нашли значения для $x^2$ и $y^2$, решениями системы будут все возможные комбинации полученных значений $x$ и $y$.
Ответ: $(10, 8)$, $(10, -8)$, $(-10, 8)$, $(-10, -8)$.

530. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20, \\ x^2 - 2x + y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^2 + 3x - y = 1, \\ y^2 + 6x - 2y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + 3x - 4y = 20 \\x^2 - 2x + y = -5\end{cases}$$

Для решения данной системы воспользуемся методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $x^2$.

$(x^2 + 3x - 4y) - (x^2 - 2x + y) = 20 - (-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 3x - 4y - x^2 + 2x - y = 25$

$(3x + 2x) + (-4y - y) = 25$

$5x - 5y = 25$

Разделим обе части полученного уравнения на 5:

$x - y = 5$

Из этого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы (можно и в первое, но второе выглядит проще):

$x^2 - 2x + (x - 5) = -5$

Упростим уравнение:

$x^2 - x - 5 = -5$

$x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее полученную формулу $y = x - 5$.

1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 - 5 = -5$.

2. Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 5 = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, -5)$ и $(1, -4)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в оба уравнения системы.

Проверка для $(0, -5)$:

$0^2 + 3(0) - 4(-5) = 0 + 0 + 20 = 20$. Верно.

$0^2 - 2(0) + (-5) = 0 - 0 - 5 = -5$. Верно.

Проверка для $(1, -4)$:

$1^2 + 3(1) - 4(-4) = 1 + 3 + 16 = 20$. Верно.

$1^2 - 2(1) + (-4) = 1 - 2 - 4 = -5$. Верно.

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(0, -5)$, $(1, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}y^2 + 3x - y = 1 \\y^2 + 6x - 2y = 1\end{cases}$$

Правые части уравнений равны, значит, мы можем приравнять их левые части. Или, что то же самое, вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от члена $y^2$.

$(y^2 + 6x - 2y) - (y^2 + 3x - y) = 1 - 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 6x - 2y - y^2 - 3x + y = 0$

$(6x - 3x) + (-2y + y) = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:

$(3x)^2 + 3x - (3x) = 1$

Упростим уравнение:

$9x^2 + 3x - 3x = 1$

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = 3x$.

1. Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

2. Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(\frac{1}{3}, 1)$ и $(-\frac{1}{3}, -1)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в оба уравнения системы.

Проверка для $(\frac{1}{3}, 1)$:

$1^2 + 3(\frac{1}{3}) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$. Верно.

$1^2 + 6(\frac{1}{3}) - 2(1) = 1 + 2 - 2 = 1$. Верно.

Проверка для $(-\frac{1}{3}, -1)$:

$(-1)^2 + 3(-\frac{1}{3}) - (-1) = 1 - 1 + 1 = 1$. Верно.

$(-1)^2 + 6(-\frac{1}{3}) - 2(-1) = 1 - 2 + 2 = 1$. Верно.

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 1)$, $(-\frac{1}{3}, -1)$.

531. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + xy + y = 10, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy + x - y = 13; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно применить метод алгебраического сложения, а именно, вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам избавиться от членов $x$ и $xy$.

$ (x + y + xy) - (xy + x - y) = 5 - 13 $

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$ x + y + xy - xy - x + y = -8 $

$ 2y = -8 $

Отсюда находим значение $y$:

$ y = \frac{-8}{2} = -4 $

Теперь подставим найденное значение $y = -4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$ x + (-4) + x(-4) = 5 $

$ x - 4 - 4x = 5 $

$ -3x = 5 + 4 $

$ -3x = 9 $

$ x = \frac{9}{-3} = -3 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-3; -4)$.

Для проверки подставим найденные значения во второе уравнение системы:

$ xy + x - y = (-3)(-4) + (-3) - (-4) = 12 - 3 + 4 = 13 $.

Получили верное равенство $13 = 13$, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(-3, -4)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = 10, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно сделать замену переменных. Пусть $S = x+y$ и $P = xy$. Преобразуем оба уравнения системы, выразив их через $S$ и $P$.

Первое уравнение можно записать как $(x+y) + xy = 10$, что в новых переменных дает:

$ S + P = 10 $

Второе уравнение преобразуем, вынеся общий множитель: $xy - 2(x+y) = 2$. В новых переменных это уравнение примет вид:

$ P - 2S = 2 $

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными $S$ и $P$:

$ \begin{cases} S + P = 10, \\ P - 2S = 2. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $P$: $P = 10 - S$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ (10 - S) - 2S = 2 $

$ 10 - 3S = 2 $

$ -3S = 2 - 10 $

$ -3S = -8 $

$ S = \frac{8}{3} $

Теперь найдем $P$:

$ P = 10 - S = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30}{3} - \frac{8}{3} = \frac{22}{3} $

Мы получили, что $x+y = S = \frac{8}{3}$ и $xy = P = \frac{22}{3}$. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения вида $t^2 - St + P = 0$.

Подставим найденные значения $S$ и $P$ в это уравнение:

$ t^2 - \frac{8}{3}t + \frac{22}{3} = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 3:

$ 3t^2 - 8t + 22 = 0 $

Для нахождения корней этого уравнения вычислим его дискриминант $D$:

$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 64 - 264 = -200 $

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных решений.

532. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений: $x+y=0$ или $x-y=0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x + y = 0$:

Выразим $y$ через $x$: $y = -x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x - (-x) = 1$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = -x = -\frac{1}{3}$.

Первое решение системы: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.

2. Случай, когда $x - y = 0$:

Выразим $y$ через $x$: $y = x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x - x = 1$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = x = 1$.

Второе решение системы: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$, $(1, 1)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x - 7y = 0$ или $x + 7y = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x - 7y = 0$:

Выразим $x$ через $y$: $x = 7y$.

Подставим в первое уравнение:

$(7y)^2 + y^2 = 100$

$49y^2 + y^2 = 100$

$50y^2 = 100$

$y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = 7\sqrt{2}$. Решение: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = -7\sqrt{2}$. Решение: $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2. Случай, когда $x + 7y = 0$:

Выразим $x$ через $y$: $x = -7y$.

Подставим в первое уравнение:

$(-7y)^2 + y^2 = 100$

$49y^2 + y^2 = 100$

$50y^2 = 100$

$y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = -7\sqrt{2}$. Решение: $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = 7\sqrt{2}$. Решение: $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x - 3 = 0$ или $y - 5 = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x - 3 = 0$:

Тогда $x = 3$. Подставим это значение в первое уравнение:

$3^2 + y^2 = 25$

$9 + y^2 = 25$

$y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm4$.

Получаем два решения: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

2. Случай, когда $y - 5 = 0$:

Тогда $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x^2 + 5^2 = 25$

$x^2 + 25 = 25$

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Получаем еще одно решение: $(0, 5)$.

Ответ: $(3, 4)$, $(3, -4)$, $(0, 5)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x = 0$ или $y + 1 = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x = 0$:

Подставим это значение в первое уравнение:

$0^2 - y^2 = 50$

$-y^2 = 50$

$y^2 = -50$

Это уравнение не имеет действительных решений.

2. Случай, когда $y + 1 = 0$:

Тогда $y = -1$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x^2 - (-1)^2 = 50$

$x^2 - 1 = 50$

$x^2 = 51 \Rightarrow x = \pm\sqrt{51}$.

Получаем два решения: $(\sqrt{51}, -1)$ и $(-\sqrt{51}, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{51}, -1)$, $(-\sqrt{51}, -1)$.

533. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \\ 2x - y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}, \\ x + 2y = 14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 14, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\2x - y = 5\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0$.
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 2x - 5$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{6}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(2x-5)$:
$\frac{2x - 5 + x}{x(2x - 5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{3x - 5}{2x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$6(3x - 5) = 1(2x^2 - 5x)$
$18x - 30 = 2x^2 - 5x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 5x - 18x + 30 = 0$
$2x^2 - 23x + 30 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289 = 17^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10$
$x_2 = \frac{23 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 2x - 5$:
При $x_1 = 10$, $y_1 = 2(10) - 5 = 20 - 5 = 15$.
При $x_2 = 1.5$, $y_2 = 2(1.5) - 5 = 3 - 5 = -2$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Получили две пары решений.
Ответ: (10; 15) и (1.5; -2).

б)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\x + 2y = 14\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 14 - 2y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{14 - 2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$
Приведем левую часть к общему знаменателю $y(14 - 2y)$:
$\frac{y - (14 - 2y)}{y(14 - 2y)} = \frac{1}{20}$
$\frac{y - 14 + 2y}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20}$
$\frac{3y - 14}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20}$
По свойству пропорции:
$20(3y - 14) = 1(14y - 2y^2)$
$60y - 280 = 14y - 2y^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$2y^2 + 60y - 14y - 280 = 0$
$2y^2 + 46y - 280 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + 23y - 140 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089 = 33^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-23 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-23 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28$
Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 14 - 2y$:
При $y_1 = 5$, $x_1 = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4$.
При $y_2 = -28$, $x_2 = 14 - 2(-28) = 14 + 56 = 70$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (4; 5) и (70; -28).

в)Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 14 \\\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Преобразуем второе уравнение. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12}$
Воспользуемся тождеством: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Из первого уравнения системы известно, что $x+y=14$. Подставим это в тождество:
$x^2 + y^2 = 14^2 - 2xy = 196 - 2xy$
Теперь подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$\frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = xy$.
$\frac{196 - 2t}{t} = \frac{25}{12}$
Решим уравнение относительно $t$ по свойству пропорции:
$12(196 - 2t) = 25t$
$2352 - 24t = 25t$
$2352 = 49t$
$t = \frac{2352}{49} = 48$
Следовательно, $xy = 48$.
Теперь исходная система эквивалентна следующей:
$\begin{cases}x + y = 14 \\xy = 48\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 14z + 48 = 0$.
Решим его:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 = 2^2$
$z_1 = \frac{14 + 2}{2} = 8$
$z_2 = \frac{14 - 2}{2} = 6$
Таким образом, пары решений $(x, y)$ — это (8, 6) и (6, 8).
Ответ: (8; 6) и (6; 8).

г)Дана система уравнений:
$\begin{cases}x - y = 2 \\\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Преобразуем второе уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}$
Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Из первого уравнения известно, что $x-y=2$. Подставим:
$\frac{2(x+y)}{xy} = \frac{5}{6}$
Из первого уравнения также выразим $x$: $x = y + 2$. Подставим это выражение в полученное уравнение:
$\frac{2((y+2)+y)}{(y+2)y} = \frac{5}{6}$
$\frac{2(2y+2)}{y^2+2y} = \frac{5}{6}$
$\frac{4y+4}{y^2+2y} = \frac{5}{6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$6(4y+4) = 5(y^2+2y)$
$24y + 24 = 5y^2 + 10y$
Перенесем все в одну сторону:
$5y^2 + 10y - 24y - 24 = 0$
$5y^2 - 14y - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676 = 26^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{14 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$
$y_2 = \frac{14 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 2$:
При $y_1 = 4$, $x_1 = 4 + 2 = 6$.
При $y_2 = -1.2$, $x_2 = -1.2 + 2 = 0.8$.
Получили две пары решений, которые удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (6; 4) и (0.8; -1.2).