Страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

534. Имеет ли решения система уравнений

$$\begin{cases}3x - 4y = -2, \\3x + y^2 = 10, \\x^2 - y^2 - x + y = 100?\end{cases}$$

Чтобы определить, имеет ли данная система уравнений решения, мы сначала решим систему, состоящую из первых двух уравнений, чтобы найти возможные пары значений $(x, y)$. Затем мы проверим, удовлетворяют ли эти пары третьему уравнению.

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}3x - 4y = -2 \quad &(1) \\3x + y^2 = 10 \quad &(2) \\x^2 - y^2 - x + y = 100 \quad &(3)\end{cases}$$

Возьмем первые два уравнения:

$$\begin{cases}3x - 4y = -2 \\3x + y^2 = 10\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $3x$:

$3x = 4y - 2$

Подставим полученное выражение для $3x$ во второе уравнение:

$(4y - 2) + y^2 = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y - 2 - 10 = 0$

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать разложение на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $4$. Это числа $6$ и $-2$.

$(y + 6)(y - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = -6$ или $y_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $3x = 4y - 2$.

При $y_1 = -6$:

$3x_1 = 4(-6) - 2 = -24 - 2 = -26$

$x_1 = -\frac{26}{3}$

Таким образом, первая возможная пара решений — $(-\frac{26}{3}, -6)$.

При $y_2 = 2$:

$3x_2 = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6$

$x_2 = 2$

Таким образом, вторая возможная пара решений — $(2, 2)$.

Теперь мы должны проверить, удовлетворяет ли какая-либо из этих пар третьему уравнению системы: $x^2 - y^2 - x + y = 100$.

Проверка пары $(2, 2)$:

Подставляем $x = 2$ и $y = 2$ в левую часть третьего уравнения:

$2^2 - 2^2 - 2 + 2 = 4 - 4 - 2 + 2 = 0$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $0 \neq 100$. Значит, пара $(2, 2)$ не является решением системы.

Проверка пары $(-\frac{26}{3}, -6)$:

Подставляем $x = -\frac{26}{3}$ и $y = -6$ в левую часть третьего уравнения:

$(-\frac{26}{3})^2 - (-6)^2 - (-\frac{26}{3}) + (-6) = \frac{676}{9} - 36 + \frac{26}{3} - 6$

Объединим целые числа и приведем дроби к общему знаменателю $9$:

$\frac{676}{9} - 42 + \frac{26 \cdot 3}{9} = \frac{676}{9} - \frac{42 \cdot 9}{9} + \frac{78}{9} = \frac{676 - 378 + 78}{9} = \frac{298 + 78}{9} = \frac{376}{9}$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $\frac{376}{9} \neq 100$, так как $376 \neq 900$. Значит, пара $(-\frac{26}{3}, -6)$ также не является решением системы.

Поскольку ни одно из решений, удовлетворяющих первым двум уравнениям, не удовлетворяет третьему уравнению, данная система уравнений является несовместной.

Ответ: нет, система уравнений не имеет решений.

535. Имеют ли общую точку графики уравнений $x + y = 7$, $2x - y = 2$, $x^2 + xy - y^2 - y = 1$?

Чтобы определить, имеют ли графики данных уравнений общую точку, необходимо проверить, существует ли пара чисел $(x, y)$, которая является решением для всех трех уравнений одновременно. Если такая точка существует, она будет являться общей точкой для всех трех графиков.

Рассмотрим систему уравнений:

Сначала найдем точку пересечения графиков первых двух линейных уравнений, решив соответствующую систему:

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2$
$3x = 9$
$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3 + y = 7$
$y = 7 - 3$
$y = 4$

Таким образом, если общая точка для трех графиков существует, то ее координаты должны быть $(3, 4)$, так как это единственная точка пересечения первых двух прямых.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $(3, 4)$ графику третьего уравнения $x^2 + xy - y^2 - y = 1$. Для этого подставим значения $x = 3$ и $y = 4$ в левую часть этого уравнения:

$(3)^2 + (3)(4) - (4)^2 - (4) = 9 + 12 - 16 - 4 = 21 - 20 = 1$

Полученное значение $1$ равно значению в правой части уравнения ($1 = 1$). Следовательно, равенство является верным, и точка $(3, 4)$ удовлетворяет третьему уравнению.

Поскольку точка с координатами $(3, 4)$ удовлетворяет всем трем уравнениям, она является их общей точкой.

Ответ: Да, графики уравнений имеют общую точку с координатами $(3, 4)$.

536. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}x^2 + y^2 + x + y = 18, \\x^2 - y^2 + x - y = 6;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 y^2 + xy = 72, \\x + y = 6;\end{cases}$

в) $\begin{cases}(x + y)^2 - 2(x + y) = 15, \\x + xy + y = 11;\end{cases}$

г) $\begin{cases}(x + y)^2 - 4(x + y) = 45, \\(x - y)^2 - 2(x - y) = 3.\end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $ (x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6 $
$ 2x^2 + 2x = 24 $
$ x^2 + x - 12 = 0 $
Решим это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого: $ (x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6 $
$ 2y^2 + 2y = 12 $
$ y^2 + y - 6 = 0 $
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Исходная система равносильна системе: $$ \begin{cases} x^2+x=12 \\ y^2+y=6 \end{cases} $$ Это означает, что любое решение $x$ первого уравнения может сочетаться с любым решением $y$ второго уравнения. Проверим, подставив выражения в исходную систему: Первое уравнение: $(x^2+x)+(y^2+y) = 12+6 = 18$. Верно. Второе уравнение: $(x^2+x)-(y^2+y) = 12-6 = 6$. Верно. Следовательно, решениями являются все возможные пары, составленные из найденных корней: $(3, 2), (3, -3), (-4, 2), (-4, -3)$.

Ответ: $(3, 2), (3, -3), (-4, 2), (-4, -3)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 72 \\ x + y = 6 \end{cases} $$ Введем замену в первом уравнении: пусть $t = xy$. Тогда уравнение примет вид: $ t^2 + t = 72 $
$ t^2 + t - 72 = 0 $
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$. Таким образом, мы имеем два случая:
1) $xy = 8$
2) $xy = -9$
Рассмотрим каждый случай в сочетании со вторым уравнением системы $x+y=6$.
Случай 1: $$ \begin{cases} xy = 8 \\ x+y = 6 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 8 = 0$. Корни этого уравнения: $z_1 = 2, z_2 = 4$. Следовательно, решениями этой системы являются пары $(2, 4)$ и $(4, 2)$.
Случай 2: $$ \begin{cases} xy = -9 \\ x+y = 6 \end{cases} $$ Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z - 9 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4(1)(-9) = 36 + 36 = 72$. $z = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$. Следовательно, решениями этой системы являются пары $(3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2})$ и $(3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 4), (4, 2), (3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2}), (3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x+y)^2 - 2(x+y) = 15 \\ x + xy + y = 11 \end{cases} $$ Используем метод замены переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Перепишем систему в новых переменных. Первое уравнение: $u^2 - 2u - 15 = 0$. Второе уравнение можно записать как $(x+y) + xy = 11$, то есть $u+v=11$. Сначала решим уравнение для $u$: $u^2 - 2u - 15 = 0$ По теореме Виета, корни $u_1 = 5$ и $u_2 = -3$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $u = 5$. Тогда $x+y=5$. Подставим $u=5$ в уравнение $u+v=11$: $5 + v = 11 \implies v = 6$. Тогда $xy = 6$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=2, z_2=3$. Значит, решениями являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
Случай 2: $u = -3$. Тогда $x+y=-3$. Подставим $u=-3$ в уравнение $u+v=11$: $-3 + v = 11 \implies v = 14$. Тогда $xy = 14$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x+y=-3 \\ xy=14 \end{cases} $$ $x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - (-3)z + 14 = 0$, то есть $z^2 + 3z + 14 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4(1)(14) = 9 - 56 = -47$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. В этом случае система решений не имеет.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x+y)^2 - 4(x+y) = 45 \\ (x-y)^2 - 2(x-y) = 3 \end{cases} $$ Эта система решается с помощью введения двух новых переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = x-y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u^2 - 4u - 45 = 0 \\ v^2 - 2v - 3 = 0 \end{cases} $$ Решим каждое уравнение отдельно.
Первое уравнение: $u^2 - 4u - 45 = 0$. По теореме Виета, корни $u_1 = 9$ и $u_2 = -5$.
Второе уравнение: $v^2 - 2v - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $v_1 = 3$ и $v_2 = -1$.
Теперь мы имеем четыре возможные системы линейных уравнений, комбинируя найденные значения $u$ и $v$.
Случай 1: $x+y=9$ и $x-y=3$. Сложив уравнения, получим $2x=12 \implies x=6$. Подставив $x=6$ в первое уравнение, получим $6+y=9 \implies y=3$. Решение: $(6, 3)$.
Случай 2: $x+y=9$ и $x-y=-1$. Сложив уравнения, получим $2x=8 \implies x=4$. Подставив $x=4$ в первое уравнение, получим $4+y=9 \implies y=5$. Решение: $(4, 5)$.
Случай 3: $x+y=-5$ и $x-y=3$. Сложив уравнения, получим $2x=-2 \implies x=-1$. Подставив $x=-1$ в первое уравнение, получим $-1+y=-5 \implies y=-4$. Решение: $(-1, -4)$.
Случай 4: $x+y=-5$ и $x-y=-1$. Сложив уравнения, получим $2x=-6 \implies x=-3$. Подставив $x=-3$ в первое уравнение, получим $-3+y=-5 \implies y=-2$. Решение: $(-3, -2)$.

Ответ: $(6, 3), (4, 5), (-1, -4), (-3, -2)$.

537. Если умножить квадратный трёхчлен $ax^2 - 2x + b$ на квадратный трёхчлен $x^2 + ax - 1$, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно равны 8 и -2. Найдите $a$ и $b$.

Чтобы найти значения $a$ и $b$, необходимо перемножить заданные многочлены и приравнять коэффициенты при $x^2$ и $x$ к указанным в условии значениям.

Произведение двух квадратных трёхчленов $(ax^2 - 2x + b)$ и $(x^2 + ax - 1)$ равно:

$(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1) = ax^2(x^2 + ax - 1) - 2x(x^2 + ax - 1) + b(x^2 + ax - 1)$

Раскроем скобки:

$ax^4 + a^2x^3 - ax^2 - 2x^3 - 2ax^2 + 2x + bx^2 + abx - b$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - a - 2a)x^2 + (2 + ab)x - b$

$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - 3a)x^2 + (ab + 2)x - b$

Согласно условию, коэффициент при $x^2$ равен 8. Из полученного многочлена этот коэффициент равен $(b - 3a)$. Составим первое уравнение:

$b - 3a = 8$

Также по условию, коэффициент при $x$ равен -2. Этот коэффициент в нашем многочлене равен $(ab + 2)$. Составим второе уравнение:

$ab + 2 = -2$

$ab = -4$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab = -4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 8 + 3a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$a(8 + 3a) = -4$

$8a + 3a^2 = -4$

$3a^2 + 8a + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$a_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 8 + 3a$.

Случай 1: $a = -2$

$b = 8 + 3(-2) = 8 - 6 = 2$

Эта пара чисел $(-2, 2)$ является решением.

Случай 2: $a = -\frac{2}{3}$

$b = 8 + 3(-\frac{2}{3}) = 8 - 2 = 6$

Эта пара чисел $(-\frac{2}{3}, 6)$ также является решением.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для пары $(a, b)$.

Ответ: $a = -2, b = 2$ или $a = -\frac{2}{3}, b = 6$.

538. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.

Пусть искомые положительные числа — это $x$ и $y$. Для определенности предположим, что $x > y$.

Из условия задачи известно, что сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 5(x - y)$

Также известно, что разность их квадратов равна 180. Это дает нам второе уравнение:
$x^2 - y^2 = 180$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 180 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, перепишем его:
$(x - y)(x + y) = 180$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $(x + y)$ из первого уравнения системы:
$(x - y) \cdot [5(x - y)] = 180$
$5(x - y)^2 = 180$

Разделим обе части уравнения на 5:
$(x - y)^2 = \frac{180}{5}$
$(x - y)^2 = 36$

Поскольку мы предположили, что $x > y$, разность $x - y$ должна быть положительным числом. Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем:
$x - y = 6$

Теперь, зная разность, мы можем найти сумму, вернувшись к первому уравнению системы:
$x + y = 5(x - y) = 5 \cdot 6 = 30$

Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 30 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:
$(x - y) + (x + y) = 6 + 30$
$2x = 36$
$x = \frac{36}{2}$
$x = 18$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение простой системы, чтобы найти $y$:
$18 + y = 30$
$y = 30 - 18$
$y = 12$

Мы нашли два положительных числа: 18 и 12. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.
1. Сумма $18 + 12 = 30$. Разность $18 - 12 = 6$. Сумма $30$ действительно в 5 раз больше разности $6$ ($30 = 5 \cdot 6$).
2. Разность квадратов $18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180$.
Оба условия выполняются.

Ответ: 18 и 12.

539. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое число — $x$, а второе — $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Первое условие: "Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы". В виде уравнения это выглядит так:
$xy = 15(x + y)$

Второе условие: "Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100". Это можно записать как:
$x + 2y = 100$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} xy = 15(x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из второго, более простого, уравнения:
$x = 100 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(100 - 2y)y = 15((100 - 2y) + y)$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала упростим его:
$100y - 2y^2 = 15(100 - y)$
$100y - 2y^2 = 1500 - 15y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2y^2 - 100y - 15y + 1500 = 0$
$2y^2 - 115y + 1500 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 - 12000 = 1225$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.

Теперь находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-115) + 35}{2 \cdot 2} = \frac{115 + 35}{4} = \frac{150}{4} = 37.5$
$y_2 = \frac{-(-115) - 35}{2 \cdot 2} = \frac{115 - 35}{4} = \frac{80}{4} = 20$

Мы нашли два возможных значения для второго числа. Для каждого из них найдем соответствующее значение первого числа $x$, используя $x = 100 - 2y$.

Случай 1: если $y_1 = 37.5$
$x_1 = 100 - 2(37.5) = 100 - 75 = 25$.
Получили первую пару чисел: 25 и 37.5.

Случай 2: если $y_2 = 20$
$x_2 = 100 - 2(20) = 100 - 40 = 60$.
Получили вторую пару чисел: 60 и 20.

Выполним проверку для обоих найденных решений.
Проверка для (25; 37.5):
$25 \cdot 37.5 = 937.5$ и $15(25 + 37.5) = 15 \cdot 62.5 = 937.5$. Первое условие выполняется.
$25 + 2(37.5) = 25 + 75 = 100$. Второе условие выполняется.

Проверка для (60; 20):
$60 \cdot 20 = 1200$ и $15(60 + 20) = 15 \cdot 80 = 1200$. Первое условие выполняется.
$60 + 2(20) = 60 + 40 = 100$. Второе условие выполняется.

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 25 и 37.5; или 60 и 20.

540. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.

Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Согласно условию задачи, "разность квадратов двух чисел равна 100", что можно записать в виде уравнения:

$x^2 - y^2 = 100$

Также, "если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30", что дает нам второе уравнение:

$3x - 2y = 30$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 - \frac{(3x - 30)^2}{4} = 100$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 - (3x - 30)^2 = 400$

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Разделим уравнение на -5 для упрощения:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

Если $x_1 = 26$, то $y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Получаем первую пару чисел: 26 и 24.

Если $x_2 = 10$, то $y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Получаем вторую пару чисел: 10 и 0.

Проверим найденные решения.

Для пары (26; 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно).

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно).

Для пары (10; 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно).

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа это 26 и 24, или 10 и 0.

541. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. При этом $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ – целым числом от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$, а произведение его цифр равно $a \cdot b$.

На основании условий задачи составим систему из двух уравнений:

1) Число в 4 раза больше суммы его цифр: $10a + b = 4(a + b)$.

2) Число в 2 раза больше произведения его цифр: $10a + b = 2ab$.

Рассмотрим первое уравнение и упростим его:

$10a + b = 4a + 4b$

$10a - 4a = 4b - b$

$6a = 3b$

Разделив обе части на 3, получим соотношение между цифрами:

$b = 2a$

Теперь подставим полученное выражение $b = 2a$ во второе уравнение системы:

$10a + (2a) = 2a(2a)$

$12a = 4a^2$

Так как $a$ является цифрой десятков, она не может быть равна нулю ($a \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $4a$:

$3 = a$

Теперь, зная значение $a$, найдем значение $b$ из соотношения $b = 2a$:

$b = 2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, искомое число состоит из цифры десятков $a = 3$ и цифры единиц $b = 6$. Это число 36.

Выполним проверку:

Сумма цифр: $3 + 6 = 9$. Число 36 больше суммы цифр в $36 / 9 = 4$ раза. Условие выполнено.

Произведение цифр: $3 \cdot 6 = 18$. Число 36 больше произведения цифр в $36 / 18 = 2$ раза. Условие выполнено.

Ответ: 36

542. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно первому условию, если числитель возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{x^2}{y-1} = 2$

Согласно второму условию, если числитель уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Составим второе уравнение:

$\frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4}$

Для нахождения $x$ и $y$ необходимо решить систему из этих двух уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1} = 2 \\ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$. Для этого преобразуем его, используя основное свойство пропорции:

$4(x-1) = 1(y+1)$

$4x - 4 = y + 1$

$y = 4x - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{x^2}{(4x - 5) - 1} = 2$

Упростим знаменатель и решим получившееся уравнение:

$\frac{x^2}{4x - 6} = 2$

При условии, что $4x - 6 \neq 0$, имеем:

$x^2 = 2(4x - 6)$

$x^2 = 8x - 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = 4x - 5$.

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$. Таким образом, первая возможная дробь — это $\frac{2}{3}$.

2. Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 4(6) - 5 = 24 - 5 = 19$. Таким образом, вторая возможная дробь — это $\frac{6}{19}$.

Выполним проверку для обоих найденных решений.

Для дроби $\frac{2}{3}$:

Проверка первого условия: $\frac{2^2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$. (Верно)

Проверка второго условия: $\frac{2-1}{3+1} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Для дроби $\frac{6}{19}$:

Проверка первого условия: $\frac{6^2}{19-1} = \frac{36}{18} = 2$. (Верно)

Проверка второго условия: $\frac{6-1}{19+1} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $\frac{2}{3}$ или $\frac{6}{19}$.

543. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $3/4$. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $1/2$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если числитель увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Согласно второму условию, если числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:$$\begin{cases}\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4} \\\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}\end{cases}$$

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $(y+6)$:

$x = \frac{y+6}{2}$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{(\frac{y+6}{2}) + 7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Упростим числитель дроби в левой части:

$\frac{\frac{y+6+14}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\frac{y+20}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{y+20}{2y^2} = \frac{3}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(y+20) = 3(2y^2)$

$4y + 80 = 6y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6y^2 - 4y - 80 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$3y^2 - 2y - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{484} = 22$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Поскольку в условии говорится об обыкновенной дроби, её знаменатель, как правило, является натуральным числом. Поэтому корень $y_2 = -\frac{10}{3}$ не является подходящим решением. Таким образом, знаменатель искомой дроби $y=4$.

Теперь найдем числитель $x$, подставив значение $y=4$ в выражение $x = \frac{y+6}{2}$:

$x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Итак, искомая дробь — это $\frac{5}{4}$.

Проверка:

1. Увеличим числитель на 7 ($5+7=12$), а знаменатель возведем в квадрат ($4^2=16$). Получим дробь $\frac{12}{16}$. Сократив ее на 4, получим $\frac{3}{4}$. Первое условие выполняется.

2. Оставим числитель без изменения (5), а знаменатель увеличим на 6 ($4+6=10$). Получим дробь $\frac{5}{10}$. Сократив ее на 5, получим $\frac{1}{2}$. Второе условие также выполняется.

Оба условия соблюдены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $\frac{5}{4}$