Номер 535, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

535. Имеют ли общую точку графики уравнений $x + y = 7$, $2x - y = 2$, $x^2 + xy - y^2 - y = 1$?

Чтобы определить, имеют ли графики данных уравнений общую точку, необходимо проверить, существует ли пара чисел $(x, y)$, которая является решением для всех трех уравнений одновременно. Если такая точка существует, она будет являться общей точкой для всех трех графиков.

Рассмотрим систему уравнений:

Сначала найдем точку пересечения графиков первых двух линейных уравнений, решив соответствующую систему:

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2$
$3x = 9$
$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3 + y = 7$
$y = 7 - 3$
$y = 4$

Таким образом, если общая точка для трех графиков существует, то ее координаты должны быть $(3, 4)$, так как это единственная точка пересечения первых двух прямых.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $(3, 4)$ графику третьего уравнения $x^2 + xy - y^2 - y = 1$. Для этого подставим значения $x = 3$ и $y = 4$ в левую часть этого уравнения:

$(3)^2 + (3)(4) - (4)^2 - (4) = 9 + 12 - 16 - 4 = 21 - 20 = 1$

Полученное значение $1$ равно значению в правой части уравнения ($1 = 1$). Следовательно, равенство является верным, и точка $(3, 4)$ удовлетворяет третьему уравнению.

Поскольку точка с координатами $(3, 4)$ удовлетворяет всем трем уравнениям, она является их общей точкой.

Ответ: Да, графики уравнений имеют общую точку с координатами $(3, 4)$.