Номер 530, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

530. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20, \\ x^2 - 2x + y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^2 + 3x - y = 1, \\ y^2 + 6x - 2y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + 3x - 4y = 20 \\x^2 - 2x + y = -5\end{cases}$$

Для решения данной системы воспользуемся методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $x^2$.

$(x^2 + 3x - 4y) - (x^2 - 2x + y) = 20 - (-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 3x - 4y - x^2 + 2x - y = 25$

$(3x + 2x) + (-4y - y) = 25$

$5x - 5y = 25$

Разделим обе части полученного уравнения на 5:

$x - y = 5$

Из этого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы (можно и в первое, но второе выглядит проще):

$x^2 - 2x + (x - 5) = -5$

Упростим уравнение:

$x^2 - x - 5 = -5$

$x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее полученную формулу $y = x - 5$.

1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 - 5 = -5$.

2. Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 5 = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, -5)$ и $(1, -4)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в оба уравнения системы.

Проверка для $(0, -5)$:

$0^2 + 3(0) - 4(-5) = 0 + 0 + 20 = 20$. Верно.

$0^2 - 2(0) + (-5) = 0 - 0 - 5 = -5$. Верно.

Проверка для $(1, -4)$:

$1^2 + 3(1) - 4(-4) = 1 + 3 + 16 = 20$. Верно.

$1^2 - 2(1) + (-4) = 1 - 2 - 4 = -5$. Верно.

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(0, -5)$, $(1, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}y^2 + 3x - y = 1 \\y^2 + 6x - 2y = 1\end{cases}$$

Правые части уравнений равны, значит, мы можем приравнять их левые части. Или, что то же самое, вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от члена $y^2$.

$(y^2 + 6x - 2y) - (y^2 + 3x - y) = 1 - 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 6x - 2y - y^2 - 3x + y = 0$

$(6x - 3x) + (-2y + y) = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:

$(3x)^2 + 3x - (3x) = 1$

Упростим уравнение:

$9x^2 + 3x - 3x = 1$

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = 3x$.

1. Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

2. Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(\frac{1}{3}, 1)$ и $(-\frac{1}{3}, -1)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в оба уравнения системы.

Проверка для $(\frac{1}{3}, 1)$:

$1^2 + 3(\frac{1}{3}) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$. Верно.

$1^2 + 6(\frac{1}{3}) - 2(1) = 1 + 2 - 2 = 1$. Верно.

Проверка для $(-\frac{1}{3}, -1)$:

$(-1)^2 + 3(-\frac{1}{3}) - (-1) = 1 - 1 + 1 = 1$. Верно.

$(-1)^2 + 6(-\frac{1}{3}) - 2(-1) = 1 - 2 + 2 = 1$. Верно.

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 1)$, $(-\frac{1}{3}, -1)$.