Номер 533, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

533. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \\ 2x - y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}, \\ x + 2y = 14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 14, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\2x - y = 5\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0$.
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 2x - 5$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{6}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(2x-5)$:
$\frac{2x - 5 + x}{x(2x - 5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{3x - 5}{2x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$6(3x - 5) = 1(2x^2 - 5x)$
$18x - 30 = 2x^2 - 5x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 5x - 18x + 30 = 0$
$2x^2 - 23x + 30 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289 = 17^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10$
$x_2 = \frac{23 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 2x - 5$:
При $x_1 = 10$, $y_1 = 2(10) - 5 = 20 - 5 = 15$.
При $x_2 = 1.5$, $y_2 = 2(1.5) - 5 = 3 - 5 = -2$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Получили две пары решений.
Ответ: (10; 15) и (1.5; -2).

б)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\x + 2y = 14\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 14 - 2y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{14 - 2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$
Приведем левую часть к общему знаменателю $y(14 - 2y)$:
$\frac{y - (14 - 2y)}{y(14 - 2y)} = \frac{1}{20}$
$\frac{y - 14 + 2y}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20}$
$\frac{3y - 14}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20}$
По свойству пропорции:
$20(3y - 14) = 1(14y - 2y^2)$
$60y - 280 = 14y - 2y^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$2y^2 + 60y - 14y - 280 = 0$
$2y^2 + 46y - 280 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + 23y - 140 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089 = 33^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-23 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-23 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28$
Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 14 - 2y$:
При $y_1 = 5$, $x_1 = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4$.
При $y_2 = -28$, $x_2 = 14 - 2(-28) = 14 + 56 = 70$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (4; 5) и (70; -28).

в)Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 14 \\\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Преобразуем второе уравнение. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12}$
Воспользуемся тождеством: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Из первого уравнения системы известно, что $x+y=14$. Подставим это в тождество:
$x^2 + y^2 = 14^2 - 2xy = 196 - 2xy$
Теперь подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$\frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = xy$.
$\frac{196 - 2t}{t} = \frac{25}{12}$
Решим уравнение относительно $t$ по свойству пропорции:
$12(196 - 2t) = 25t$
$2352 - 24t = 25t$
$2352 = 49t$
$t = \frac{2352}{49} = 48$
Следовательно, $xy = 48$.
Теперь исходная система эквивалентна следующей:
$\begin{cases}x + y = 14 \\xy = 48\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 14z + 48 = 0$.
Решим его:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 = 2^2$
$z_1 = \frac{14 + 2}{2} = 8$
$z_2 = \frac{14 - 2}{2} = 6$
Таким образом, пары решений $(x, y)$ — это (8, 6) и (6, 8).
Ответ: (8; 6) и (6; 8).

г)Дана система уравнений:
$\begin{cases}x - y = 2 \\\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}\end{cases}$
ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.
Преобразуем второе уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}$
Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Из первого уравнения известно, что $x-y=2$. Подставим:
$\frac{2(x+y)}{xy} = \frac{5}{6}$
Из первого уравнения также выразим $x$: $x = y + 2$. Подставим это выражение в полученное уравнение:
$\frac{2((y+2)+y)}{(y+2)y} = \frac{5}{6}$
$\frac{2(2y+2)}{y^2+2y} = \frac{5}{6}$
$\frac{4y+4}{y^2+2y} = \frac{5}{6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$6(4y+4) = 5(y^2+2y)$
$24y + 24 = 5y^2 + 10y$
Перенесем все в одну сторону:
$5y^2 + 10y - 24y - 24 = 0$
$5y^2 - 14y - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676 = 26^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{14 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$
$y_2 = \frac{14 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 2$:
При $y_1 = 4$, $x_1 = 4 + 2 = 6$.
При $y_2 = -1.2$, $x_2 = -1.2 + 2 = 0.8$.
Получили две пары решений, которые удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (6; 4) и (0.8; -1.2).