Номер 537, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

537. Если умножить квадратный трёхчлен $ax^2 - 2x + b$ на квадратный трёхчлен $x^2 + ax - 1$, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно равны 8 и -2. Найдите $a$ и $b$.

Чтобы найти значения $a$ и $b$, необходимо перемножить заданные многочлены и приравнять коэффициенты при $x^2$ и $x$ к указанным в условии значениям.

Произведение двух квадратных трёхчленов $(ax^2 - 2x + b)$ и $(x^2 + ax - 1)$ равно:

$(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1) = ax^2(x^2 + ax - 1) - 2x(x^2 + ax - 1) + b(x^2 + ax - 1)$

Раскроем скобки:

$ax^4 + a^2x^3 - ax^2 - 2x^3 - 2ax^2 + 2x + bx^2 + abx - b$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - a - 2a)x^2 + (2 + ab)x - b$

$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - 3a)x^2 + (ab + 2)x - b$

Согласно условию, коэффициент при $x^2$ равен 8. Из полученного многочлена этот коэффициент равен $(b - 3a)$. Составим первое уравнение:

$b - 3a = 8$

Также по условию, коэффициент при $x$ равен -2. Этот коэффициент в нашем многочлене равен $(ab + 2)$. Составим второе уравнение:

$ab + 2 = -2$

$ab = -4$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab = -4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 8 + 3a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$a(8 + 3a) = -4$

$8a + 3a^2 = -4$

$3a^2 + 8a + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$a_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 8 + 3a$.

Случай 1: $a = -2$

$b = 8 + 3(-2) = 8 - 6 = 2$

Эта пара чисел $(-2, 2)$ является решением.

Случай 2: $a = -\frac{2}{3}$

$b = 8 + 3(-\frac{2}{3}) = 8 - 2 = 6$

Эта пара чисел $(-\frac{2}{3}, 6)$ также является решением.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для пары $(a, b)$.

Ответ: $a = -2, b = 2$ или $a = -\frac{2}{3}, b = 6$.