Номер 542, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

542. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно первому условию, если числитель возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{x^2}{y-1} = 2$

Согласно второму условию, если числитель уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Составим второе уравнение:

$\frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4}$

Для нахождения $x$ и $y$ необходимо решить систему из этих двух уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1} = 2 \\ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$. Для этого преобразуем его, используя основное свойство пропорции:

$4(x-1) = 1(y+1)$

$4x - 4 = y + 1$

$y = 4x - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{x^2}{(4x - 5) - 1} = 2$

Упростим знаменатель и решим получившееся уравнение:

$\frac{x^2}{4x - 6} = 2$

При условии, что $4x - 6 \neq 0$, имеем:

$x^2 = 2(4x - 6)$

$x^2 = 8x - 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = 4x - 5$.

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$. Таким образом, первая возможная дробь — это $\frac{2}{3}$.

2. Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 4(6) - 5 = 24 - 5 = 19$. Таким образом, вторая возможная дробь — это $\frac{6}{19}$.

Выполним проверку для обоих найденных решений.

Для дроби $\frac{2}{3}$:

Проверка первого условия: $\frac{2^2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$. (Верно)

Проверка второго условия: $\frac{2-1}{3+1} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Для дроби $\frac{6}{19}$:

Проверка первого условия: $\frac{6^2}{19-1} = \frac{36}{18} = 2$. (Верно)

Проверка второго условия: $\frac{6-1}{19+1} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $\frac{2}{3}$ или $\frac{6}{19}$.