Номер 540, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

540. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.

Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Согласно условию задачи, "разность квадратов двух чисел равна 100", что можно записать в виде уравнения:

$x^2 - y^2 = 100$

Также, "если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30", что дает нам второе уравнение:

$3x - 2y = 30$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 - \frac{(3x - 30)^2}{4} = 100$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 - (3x - 30)^2 = 400$

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Разделим уравнение на -5 для упрощения:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

Если $x_1 = 26$, то $y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Получаем первую пару чисел: 26 и 24.

Если $x_2 = 10$, то $y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Получаем вторую пару чисел: 10 и 0.

Проверим найденные решения.

Для пары (26; 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно).

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно).

Для пары (10; 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно).

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа это 26 и 24, или 10 и 0.