Страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

506. Докажите, что верно неравенство

$6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0.$

Для доказательства данного неравенства необходимо упростить его левую часть.
Для начала раскроем скобки в левой части выражения:
$6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$
$6x \cdot x + 6x \cdot 8 - (5x \cdot x + 5x \cdot 17 - 27 \cdot x - 27 \cdot 17) > 0$
$6x^2 + 48x - (5x^2 + 85x - 27x - 459) > 0$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$6x^2 + 48x - (5x^2 + 58x - 459) > 0$
Теперь раскроем скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобкой стоит знак "минус":
$6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0$
$x^2 - 10x + 459 > 0$
В результате мы получили квадратное неравенство. Чтобы доказать, что оно верно для любого значения $x$, рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 10x + 459$. Графиком этой функции является парабола.
Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный ($a = 1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 459$:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 459 = 100 - 1836 = -1736$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение $x^2 - 10x + 459 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y(x) = x^2 - 10x + 459$ не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола целиком лежит выше оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y(x)$ будет положительным.
Следовательно, $x^2 - 10x + 459 > 0$ при любом $x$.
Таким образом, исходное неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ также верно для любого действительного числа $x$.

Альтернативный способ (выделение полного квадрата):
Преобразуем выражение $x^2 - 10x + 459$:
$x^2 - 10x + 459 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 459 = (x-5)^2 - 25 + 459 = (x-5)^2 + 434$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x-5)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение выражения $(x-5)^2$ равно $0$. Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 434 = 434$.
Поскольку $434 > 0$, то и выражение $(x-5)^2 + 434$ всегда больше нуля.
Это доказывает, что неравенство верно.

Ответ: Неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ доказано, так как оно сводится к неравенству $x^2 - 10x + 459 > 0$, которое верно для всех действительных $x$.

Что называется решением неравенства с двумя переменными?

Решением неравенства с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в неравенство вместо переменных $x$ и $y$ соответственно, превращает его в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, как это работает на примере. Возьмем неравенство:
$x + 2y > 3$

Давайте проверим, является ли пара чисел $(4, 1)$ решением этого неравенства. Для этого подставим $x=4$ и $y=1$ в левую часть:
$4 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6$
Теперь сравним результат с правой частью неравенства:
$6 > 3$
Это верное утверждение, значит, пара чисел $(4, 1)$ является решением данного неравенства.

Теперь проверим другую пару, например, $(0, 1)$. Подставим $x=0$ и $y=1$:
$0 + 2 \cdot 1 = 2$
Сравниваем результат:
$2 > 3$
Это неверное утверждение, поэтому пара $(0, 1)$ не является решением.

Таким образом, не каждая пара чисел подходит. Совокупность всех пар $(x_0, y_0)$, которые являются решениями, называется множеством решений неравенства. Графически это множество обычно представляет собой целую область на координатной плоскости. Для линейных неравенств, как в примере, это полуплоскость, ограниченная прямой (в нашем случае прямой $x + 2y = 3$).

Ответ: Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

2. Какую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными?

Решением системы неравенств с двумя переменными, например $x$ и $y$, называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в систему каждое неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Это означает, что пара чисел должна одновременно удовлетворять всем неравенствам, входящим в систему. Если значения переменных делают хотя бы одно из неравенств неверным, то эта пара чисел не является решением системы.

Рассмотрим для примера систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y > 4 \\ 2x - y \le 2 \end{cases} $$ Проверим пару чисел $(3, 2)$. Для первого неравенства получаем $3 + 2 > 4$, или $5 > 4$ (верно). Для второго неравенства получаем $2 \cdot 3 - 2 \le 2$, или $4 \le 2$ (неверно). Так как второе неравенство не выполнено, пара $(3, 2)$ не является решением системы.

Теперь проверим пару $(2, 3)$. Для первого неравенства получаем $2 + 3 > 4$, или $5 > 4$ (верно). Для второго неравенства получаем $2 \cdot 2 - 3 \le 2$, или $1 \le 2$ (верно). Поскольку оба неравенства обратились в верные числовые неравенства, пара чисел $(2, 3)$ является решением данной системы.

Ответ: Решением системы неравенств с двумя переменными называется такая упорядоченная пара чисел (значений переменных), при подстановке которой в систему каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

a) $x + y \ge 4$;

б) $xy \ge 4$.

Для того чтобы изобразить множество решений этого неравенства, сначала рассмотрим соответствующее равенство $x + y = 4$. Это уравнение задает прямую линию. Его можно представить в виде $y = -x + 4$.

Чтобы построить эту прямую, найдем две точки, через которые она проходит. Например, если $x = 0$, то $y = 4$ (точка $(0, 4)$), а если $y = 0$, то $x = 4$ (точка $(4, 0)$). Соединив эти две точки, мы получим график прямой $y = -x + 4$. Поскольку исходное неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), сама прямая является частью решения и должна быть изображена сплошной линией.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего использовать начало координат, точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство $x + y \ge 4$: $0 + 0 \ge 4$, что упрощается до $0 \ge 4$. Полученное неравенство является ложным. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, не входит в множество решений. Следовательно, решением является другая полуплоскость – та, что лежит выше и правее прямой $y = -x + 4$.

Ответ: Множество решений – это замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой $y = -x + 4$, включая саму прямую и все точки, расположенные выше и правее нее.

Сначала построим границу области, заданную уравнением $xy = 4$. Это уравнение можно записать как $y = \frac{4}{x}$, что является уравнением гиперболы.

Эта гипербола имеет две ветви: одну в первой координатной четверти (где $x>0$ и $y>0$) и вторую в третьей координатной четверти (где $x<0$ и $y<0$). Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой гиперболе являются частью решения, поэтому ее ветви изображаются сплошными линиями.

Теперь определим, какие области удовлетворяют неравенству $xy \ge 4$. Произведение $xy$ может быть больше или равно 4 только когда $x$ и $y$ одного знака, то есть в I и III четвертях. Во II и IV четвертях решений нет, так как там произведение $xy$ отрицательно.
В I четверти, где $x > 0$, неравенство $xy \ge 4$ эквивалентно $y \ge \frac{4}{x}$. Это означает, что решениями являются все точки, лежащие на ветви гиперболы и над ней.
В III четверти, где $x < 0$, при делении неравенства $xy \ge 4$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \le \frac{4}{x}$. Это означает, что решениями являются все точки, лежащие на ветви гиперболы и под ней.

Ответ: Множество решений состоит из двух областей: первая — это ветвь гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в I четверти вместе со всеми точками над ней; вторая — это ветвь той же гиперболы в III четверти вместе со всеми точками под ней.

4 Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 36, \\ x + y \leq 6. \end{cases}$$

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств, необходимо проанализировать каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Анализ первого неравенства: $x^2 + y^2 \le 36$

Уравнение $x^2 + y^2 = 36$ задает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$. Неравенство $x^2 + y^2 \le 36$ описывает все точки, расстояние от которых до центра $(0, 0)$ не превышает $6$. Таким образом, решением этого неравенства является замкнутый круг — все точки внутри окружности и на самой окружности.

Анализ второго неравенства: $x + y \le 6$

Уравнение $x + y = 6$ задает прямую линию. Ее можно представить в виде $y = -x + 6$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ (пересечение с осью $Oy$) и $(6, 0)$ (пересечение с осью $Ox$). Неравенство $x + y \le 6$ определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону от этой прямой. Чтобы определить, какую именно, можно использовать тестовую точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляем ее координаты в неравенство: $0 + 0 \le 6$, что дает верное утверждение $0 \le 6$. Следовательно, множество решений этого неравенства — это полуплоскость, которая содержит начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $x + y = 6$, включая саму прямую.

Построение множества решений системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Это область, которая одновременно находится внутри или на границе круга с радиусом $6$ и ниже или на прямой $y = -x + 6$.

Прямая $x + y = 6$ проходит через точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, которые лежат на окружности $x^2 + y^2 = 36$, так как $6^2 + 0^2 = 36$ и $0^2 + 6^2 = 36$. Эта прямая является хордой данной окружности.

Искомое множество точек — это часть круга $x^2 + y^2 \le 36$, отсекаемая прямой $x + y = 6$. Поскольку эта область должна содержать начало координат $(0,0)$, это будет больший из двух сегментов, на которые хорда делит круг.

Таким образом, на координатной плоскости $Oxy$ искомое множество представляет собой фигуру, ограниченную отрезком прямой $x+y=6$ между точками $(6,0)$ и $(0,6)$ и большей дугой окружности $x^2+y^2=36$, соединяющей эти же точки. Вся закрашенная область, включая ее границы, и является решением.

Ответ: Множество решений системы неравенств представляет собой сегмент круга $x^2 + y^2 \le 36$, который отсекается прямой $x+y=6$. Этот сегмент является большей частью круга и содержит начало координат. Его границы — это отрезок прямой, соединяющий точки $(6,0)$ и $(0,6)$, и дуга окружности, которая ограничивает круг и лежит в полуплоскости $x+y \le 6$.