Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

508. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0, \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0, \\ x^2 - 20y^2 = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем члены с квадратами и линейные члены:

$$ (x^2 + xy - 2y^2) - (x - y) = 0 $$

Разложим на множители квадратичную часть $x^2 + xy - 2y^2$. Если рассматривать ее как квадратный трехчлен относительно $x$, то его корнями будут $y$ и $-2y$. Таким образом, $x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$.

Подставим это в первое уравнение системы:

$$ (x - y)(x + 2y) - (x - y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$$ (x - y)(x + 2y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

2) $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученное выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 8$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ y^2 + y^2 = 8 $$

$$ 2y^2 = 8 $$

$$ y^2 = 4 $$

$$ y_1 = 2, \quad y_2 = -2 $$

Поскольку $x = y$, получаем две пары решений: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Случай 2: $x = 1 - 2y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (1 - 2y)^2 + y^2 = 8 $$

$$ 1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 8 $$

$$ 5y^2 - 4y - 7 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 16 + 140 = 156$.

Корни для $y$:

$$ y = \frac{4 \pm \sqrt{156}}{10} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5} $$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, то $x_3 = 1 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}$.

Если $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, то $x_4 = 1 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 + 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $\left(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right)$ и $\left(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-2, -2)$, $\left(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right)$, $\left(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0, \\ x^2 - 20y^2 = 5. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем члены:

$$ (x^2 - 6xy + 5y^2) - (x - 5y) = 0 $$

Разложим на множители квадратичную часть $x^2 - 6xy + 5y^2$. Если рассматривать ее как квадратный трехчлен относительно $x$, то его корнями будут $y$ и $5y$. Таким образом, $x^2 - 6xy + 5y^2 = (x - y)(x - 5y)$.

Подставим это в первое уравнение системы:

$$ (x - y)(x - 5y) - (x - 5y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - 5y)$ за скобки:

$$ (x - 5y)(x - y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 5y = 0 \implies x = 5y$

2) $x - y - 1 = 0 \implies x = y + 1$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученное выражение во второе уравнение системы $x^2 - 20y^2 = 5$.

Случай 1: $x = 5y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (5y)^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ 25y^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ 5y^2 = 5 $$

$$ y^2 = 1 $$

$$ y_1 = 1, \quad y_2 = -1 $$

Поскольку $x = 5y$, получаем две пары решений:

При $y = 1$, $x = 5(1) = 5$. Решение: $(5, 1)$.

При $y = -1$, $x = 5(-1) = -5$. Решение: $(-5, -1)$.

Случай 2: $x = y + 1$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (y + 1)^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ y^2 + 2y + 1 - 20y^2 = 5 $$

$$ -19y^2 + 2y - 4 = 0 $$

$$ 19y^2 - 2y + 4 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 4 = 4 - 304 = -300$.

Так как дискриминант $D < 0$, то в данном случае действительных решений нет.

Ответ: $(5, 1)$, $(-5, -1)$.

509. Найдите все решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy, \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0 \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0 \end{cases}$

Это система нелинейных уравнений. Для ее решения можно использовать метод алгебраического сложения, чтобы исключить один из членов. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 7, чтобы избавиться от свободных членов после сложения. Для этого сначала перенесем их в правую часть:

$\begin{cases} x^2 - 3xy = -14 \\ 3x^2 + 2xy = 24 \end{cases}$

$\begin{cases} 12(x^2 - 3xy) = 12(-14) \\ 7(3x^2 + 2xy) = 7(24) \end{cases}$

$\begin{cases} 12x^2 - 36xy = -168 \\ 21x^2 + 14xy = 168 \end{cases}$

Теперь сложим эти два уравнения:

$(12x^2 - 36xy) + (21x^2 + 14xy) = -168 + 168$

$33x^2 - 22xy = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(3x - 2y) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $11x = 0 \implies x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$0^2 - 3 \cdot 0 \cdot y + 14 = 0$

$14 = 0$

Получили противоречие, следовательно, $x=0$ не является решением системы.

2. $3x - 2y = 0 \implies 2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение:

$x^2 - 3x(\frac{3}{2}x) + 14 = 0$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + 14 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - 9x^2 + 28 = 0$

$-7x^2 + 28 = 0$

$7x^2 = 28$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \frac{3}{2}x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Проверим эти решения, подставив их во второе исходное уравнение $3x^2 + 2xy - 24 = 0$:

Для пары $(2, 3)$:

$3(2)^2 + 2(2)(3) - 24 = 3 \cdot 4 + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Для пары $(-2, -3)$:

$3(-2)^2 + 2(-2)(-3) - 24 = 3 \cdot 4 + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy \end{cases}$

Сначала проверим, является ли пара $(0, 0)$ решением системы. Подставив $x=0$ и $y=0$ в оба уравнения, получаем верные равенства $0=0$. Следовательно, $(0, 0)$ — одно из решений.

Для поиска других решений преобразуем второе уравнение, умножив его на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2(3x^2 - 8y) = 2(0,5xy)$

$6x^2 - 16y = xy$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 6x^2 - 16y = xy \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$2x^2 - 6y = 6x^2 - 16y$

Перенесем члены с $y$ в левую часть, а с $x$ — в правую:

$16y - 6y = 6x^2 - 2x^2$

$10y = 4x^2$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{4x^2}{10} = \frac{2}{5}x^2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение $2x^2 - 6y = xy$:

$2x^2 - 6\left(\frac{2}{5}x^2\right) = x\left(\frac{2}{5}x^2\right)$

$2x^2 - \frac{12}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{10x^2 - 12x^2}{5} = \frac{2}{5}x^3$

$-\frac{2}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на $\frac{5}{2}$:

$x^3 + x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 1) = 0$

Это уравнение дает два возможных значения для $x$:

1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0)^2 = 0$. Это дает нам уже найденное решение $(0, 0)$.

2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Если $x = -1$, то найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{2}{5}(-1)^2 = \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5}$.

Таким образом, мы получили второе решение: $(-1, \frac{2}{5})$.

Проверим это решение, подставив его во второе исходное уравнение $3x^2 - 8y = 0,5xy$:

$3(-1)^2 - 8\left(\frac{2}{5}\right) = 0,5(-1)\left(\frac{2}{5}\right)$

$3 \cdot 1 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}$

$\frac{15}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $(0, 0), (-1, \frac{2}{5})$.

510. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 - 4xy + 3y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0 \\ x^2 - 4xy + 3y = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Мы можем решить его как квадратное уравнение относительно переменной $x$, рассматривая $y$ как параметр.

Найдем корни уравнения $x^2 + (3y)x - 10y^2 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2 = (7y)^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-3y \pm \sqrt{49y^2}}{2} = \frac{-3y \pm 7y}{2}$.

Это дает нам два возможных соотношения между $x$ и $y$:

$x_1 = \frac{-3y + 7y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{-3y - 7y}{2} = \frac{-10y}{2} = -5y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные выражения во второе уравнение системы $x^2 - 4xy + 3y = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

Подставляем $x = 2y$ во второе уравнение:

$(2y)^2 - 4(2y)y + 3y = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$

$-4y^2 + 3y = 0$

$y(-4y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $-4y+3=0 \implies y=\frac{3}{4}$.

Если $y=0$, то $x=2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

Если $y=\frac{3}{4}$, то $x=2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$. Получаем решение $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$.

Случай 2: $x = -5y$.

Подставляем $x = -5y$ во второе уравнение:

$(-5y)^2 - 4(-5y)y + 3y = 0$

$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$

$45y^2 + 3y = 0$

$3y(15y + 1) = 0$

Отсюда $y=0$ или $15y+1=0 \implies y=-\frac{1}{15}$.

Если $y=0$, то $x=-5 \cdot 0 = 0$. Это снова дает решение $(0, 0)$.

Если $y=-\frac{1}{15}$, то $x=-5 \cdot (-\frac{1}{15}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. Получаем решение $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$.

Дискриминант $D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$.

Это дает нам два возможных соотношения между $x$ и $y$:

$x_1 = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные выражения во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

Подставляем $x = 2y$ во второе уравнение:

$(2y)^2 + 3(2y)y + 2y - 6 = 0$

$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$

$10y^2 + 2y - 6 = 0$

Разделив на 2, получим: $5y^2 + y - 3 = 0$.

Решаем это квадратное уравнение для $y$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$.

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

Находим соответствующие значения $x=2y$:

Если $y = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$, то $x = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{5}$. Получаем решение $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$.

Если $y = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$, то $x = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{5}$. Получаем решение $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

Случай 2: $x = -3y$.

Подставляем $x = -3y$ во второе уравнение:

$(-3y)^2 + 3(-3y)y + 2y - 6 = 0$

$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$

$2y - 6 = 0$

$2y = 6 \implies y = 3$.

Находим соответствующее значение $x=-3y$:

$x = -3 \cdot 3 = -9$. Получаем решение $(-9, 3)$.

Ответ: $(-9, 3)$, $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$, $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

511. Найдите все решения системы уравнений:

a) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$

Приведем к общему знаменателю $12t$:

$12t^2 + 12 = 25t$

$12t^2 - 25t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Отсюда $x = \frac{4}{3}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$

$(\frac{16}{9} - 1)y^2 = 7$

$\frac{7}{9}y^2 = 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Получаем решение $(4, 3)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$. Получаем решение $(-4, -3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Отсюда $x = \frac{3}{4}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$

$(\frac{9}{16} - 1)y^2 = 7$

$-\frac{7}{16}y^2 = 7$

$y^2 = -16$

Данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 3)$, $(-4, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Представим $2,1$ в виде дроби: $2,1 = \frac{21}{10}$.

В первом уравнении сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.

Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{21}{10}$

Приведем к общему знаменателю $10t$:

$10t^2 - 10 = 21t$

$10t^2 - 21t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 441 + 400 = 841 = 29^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 29}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 29}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$

Отсюда $x = \frac{5}{2}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

$(\frac{25}{4} + 1)y^2 = 29$

$\frac{29}{4}y^2 = 29$

$y^2 = 4$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{2}{5}$

Отсюда $x = -\frac{2}{5}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-\frac{2}{5}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{4}{25}y^2 + y^2 = 29$

$(\frac{4}{25} + 1)y^2 = 29$

$\frac{29}{25}y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y_3 = 5$ и $y_4 = -5$.

Если $y_3 = 5$, то $x_3 = -\frac{2}{5} \cdot 5 = -2$. Получаем решение $(-2, 5)$.

Если $y_4 = -5$, то $x_4 = -\frac{2}{5} \cdot (-5) = 2$. Получаем решение $(2, -5)$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(5, 2)$, $(-5, -2)$, $(-2, 5)$, $(2, -5)$.

512. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ y^2 + xy = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - xy = 7, \\ y^2 - xy = 9. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 6 + 3$

$x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(x+y)^2 = 9$

Отсюда следует, что $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy) - (y^2 + xy) = 6 - 3$

$x^2 - y^2 = 3$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-y)(x+y) = 3$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $x+y = 3$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot 3 = 3$

$x-y = 1$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = 4$, откуда $x=2$.

Подставив $x=2$ в первое уравнение ($x+y=3$), получаем $2+y=3$, откуда $y=1$.

Первое решение: $(2, 1)$.

Случай 2: $x+y = -3$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot (-3) = 3$

$x-y = -1$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = -4$, откуда $x=-2$.

Подставив $x=-2$ в первое уравнение ($x+y=-3$), получаем $-2+y=-3$, откуда $y=-1$.

Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = 7 \\ y^2 - xy = 9 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 7 + 9$

$x^2 - 2xy + y^2 = 16$

Используя формулу квадрата разности, получаем:

$(x-y)^2 = 16$

Отсюда следует, что $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 7 - 9$

$x^2 - y^2 = -2$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-y)(x+y) = -2$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $x-y = 4$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:

$4 \cdot (x+y) = -2$

$x+y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = -1/2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x=\frac{7}{4}$.

Подставив $x=\frac{7}{4}$ во второе уравнение ($x+y = -1/2$), получаем $\frac{7}{4}+y=-\frac{1}{2}$, откуда $y = -\frac{1}{2} - \frac{7}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{9}{4}$.

Первое решение: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$.

Случай 2: $x-y = -4$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:

$-4 \cdot (x+y) = -2$

$x+y = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x-y = -4 \\ x+y = 1/2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$, откуда $x=-\frac{7}{4}$.

Подставив $x=-\frac{7}{4}$ во второе уравнение ($x+y = 1/2$), получаем $-\frac{7}{4}+y=\frac{1}{2}$, откуда $y = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$.

Второе решение: $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$, $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

513. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x + y = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$

Подставим в эти формулы известные значения из системы: $x^2 + y^2 = 25$ и $xy = 12$.

1. Найдем $x+y$:
$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$.
Отсюда $x+y = \sqrt{49}$ или $x+y = -\sqrt{49}$, то есть $x+y = 7$ и $x+y = -7$.

2. Найдем $x-y$:
$(x-y)^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 25 - 24 = 1$.
Отсюда $x-y = \sqrt{1}$ или $x-y = -\sqrt{1}$, то есть $x-y = 1$ и $x-y = -1$.

Теперь мы можем составить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные равенства, и найти все пары решений $(x, y)$.

Случай 1: $ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = 1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7+1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x=4$.
Подставим $x=4$ в первое уравнение: $4+y=7 \Rightarrow y=3$.
Первая пара решений: $(4; 3)$.

Случай 2: $ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = -1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7-1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3$.
Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3+y=7 \Rightarrow y=4$.
Вторая пара решений: $(3; 4)$.

Случай 3: $ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = 1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7+1 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x=-3$.
Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3+y=-7 \Rightarrow y=-4$.
Третья пара решений: $(-3; -4)$.

Случай 4: $ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = -1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7-1 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x=-4$.
Подставим $x=-4$ в первое уравнение: $-4+y=-7 \Rightarrow y=-3$.
Четвертая пара решений: $(-4; -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Решим данную систему методом подстановки.

1. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 6 - x$.

2. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (6-x)^2 = 26$.

3. Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 26$
$2x^2 - 12x + 36 - 26 = 0$
$2x^2 - 12x + 10 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 - 6x + 5 = 0$.

4. Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни:
$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

5. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = 6 - x$.
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, система имеет две пары решений.
Ответ: $(1; 5), (5; 1)$.

514. Найдите множество решений системы:

a) $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 7, \\x + xy + y = 5;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19, \\x + xy + y = 1.\end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 7, \\x + xy + y = 5;\end{cases}$

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных, основанную на элементарных симметрических многочленах.

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем уравнения системы через новые переменные $u$ и $v$.

Второе уравнение: $x + y + xy = 5$ превращается в $u + v = 5$.

Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = 7$. Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Тогда первое уравнение примет вид: $(u^2 - 2v) + v = 7$, что упрощается до $u^2 - v = 7$.

Получаем новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases}u + v = 5, \\u^2 - v = 7.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - (5 - u) = 7$

$u^2 + u - 5 = 7$

$u^2 + u - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $u$. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, корни $u_1 = 3$ и $u_2 = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 3$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - 3 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x + y = 3, \\xy = 2.\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $(t-1)(t-2) = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Следовательно, решениями являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = -4$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - (-4) = 9$.

Возвращаемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x + y = -4, \\xy = 9.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, множество решений исходной системы состоит из двух пар чисел.

Ответ: $\{(1, 2), (2, 1)\}$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19, \\x + xy + y = 1;\end{cases}$

Эта система также является симметрической. Применим ту же замену переменных: $u = x + y$ и $v = xy$.

Преобразуем систему:

Второе уравнение: $x + y + xy = 1$ превращается в $u + v = 1$.

Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - 2xy + xy = u^2 - v = 19$.

Получаем новую систему относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases}u + v = 1, \\u^2 - v = 19.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 1 - u$.

Подставим во второе уравнение:

$u^2 - (1 - u) = 19$

$u^2 + u - 1 = 19$

$u^2 + u - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 4$.

Тогда $v = 1 - u = 1 - 4 = -3$.

Получаем систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = 4, \\xy = -3.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t - 3 = 0$.

Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

Корни: $t_1 = 2 + \sqrt{7}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{7}$.

Следовательно, решениями являются пары $(2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})$ и $(2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})$.

Случай 2: $u = -5$.

Тогда $v = 1 - u = 1 - (-5) = 6$.

Получаем систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = -5, \\xy = 6.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-5)t + 6 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 6 = 0$.

Это уравнение легко решается разложением на множители: $(t+2)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = -2, t_2 = -3$.

Следовательно, решениями являются пары $(-2, -3)$ и $(-3, -2)$.

Таким образом, множество решений исходной системы состоит из четырех пар чисел.

Ответ: $\{(-2, -3), (-3, -2), (2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7}), (2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})\}$.

515. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} 4x(x + y) + y^2 = 49, \\ 4x(x - y) + y^2 = 81; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64, \\ 3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x(x + y) + y^2 = 49 \\ 4x(x - y) + y^2 = 81 \end{cases} $

Раскроем скобки в каждом уравнении системы:

$ \begin{cases} 4x^2 + 4xy + y^2 = 49 \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 81 \end{cases} $

Заметим, что левые части уравнений можно свернуть по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$ \begin{cases} (2x + y)^2 = 49 \\ (2x - y)^2 = 81 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, получаем совокупность систем:

Из первого уравнения: $2x + y = 7$ или $2x + y = -7$.

Из второго уравнения: $2x - y = 9$ или $2x - y = -9$.

Это приводит к четырем системам линейных уравнений. Решим каждую из них.

1) $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x - y = 9 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 + 9 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$.
Подставим значение $x=4$ в первое уравнение: $2(4) + y = 7 \Rightarrow 8 + y = 7 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(4; -1)$.

2) $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x - y = -9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 - 9 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -0,5$.
Подставим $x = -0,5$ в первое уравнение: $2(-0,5) + y = 7 \Rightarrow -1 + y = 7 \Rightarrow y = 8$.
Получаем решение: $(-0,5; 8)$.

3) $ \begin{cases} 2x + y = -7 \\ 2x - y = 9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 + 9 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 0,5$.
Подставим $x = 0,5$ в первое уравнение: $2(0,5) + y = -7 \Rightarrow 1 + y = -7 \Rightarrow y = -8$.
Получаем решение: $(0,5; -8)$.

4) $ \begin{cases} 2x + y = -7 \\ 2x - y = -9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 - 9 \Rightarrow 4x = -16 \Rightarrow x = -4$.
Подставим $x = -4$ в первое уравнение: $2(-4) + y = -7 \Rightarrow -8 + y = -7 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-4; 1)$.

Ответ: $(4; -1)$, $(-0,5; 8)$, $(0,5; -8)$, $(-4; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64 \\ 3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16 \end{cases} $

Раскроем скобки в каждом уравнении системы:

$ \begin{cases} 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 64 \\ 9x^2 + 12xy + 4y^2 = 16 \end{cases} $

Левые части уравнений представляют собой полные квадраты. Обратим внимание, что $4y^2 = (2y)^2$.

$ \begin{cases} (3x - 2y)^2 = 64 \\ (3x + 2y)^2 = 16 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, получаем:

Из первого уравнения: $3x - 2y = 8$ или $3x - 2y = -8$.

Из второго уравнения: $3x + 2y = 4$ или $3x + 2y = -4$.

Это приводит к четырем системам линейных уравнений. Решим каждую из них.

1) $ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = 4 + 8 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$.
Подставим $x = 2$ в первое уравнение: $3(2) + 2y = 4 \Rightarrow 6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(2; -1)$.

2) $ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = -8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = 4 - 8 \Rightarrow 6x = -4 \Rightarrow x = -2/3$.
Подставим $x = -2/3$ в первое уравнение: $3(-2/3) + 2y = 4 \Rightarrow -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
Получаем решение: $(-2/3; 3)$.

3) $ \begin{cases} 3x + 2y = -4 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = -4 + 8 \Rightarrow 6x = 4 \Rightarrow x = 2/3$.
Подставим $x = 2/3$ в первое уравнение: $3(2/3) + 2y = -4 \Rightarrow 2 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$.
Получаем решение: $(2/3; -3)$.

4) $ \begin{cases} 3x + 2y = -4 \\ 3x - 2y = -8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = -4 - 8 \Rightarrow 6x = -12 \Rightarrow x = -2$.
Подставим $x = -2$ в первое уравнение: $3(-2) + 2y = -4 \Rightarrow -6 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-2; 1)$.

Ответ: $(2; -1)$, $(-2/3; 3)$, $(2/3; -3)$, $(-2; 1)$.

516. Докажите, что уравнение не имеет решений:

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0;$

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0;$

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0;$

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0.$

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив в ней полный квадрат. Выражение $x^2 + 4xy + 4y^2$ является полным квадратом суммы $(x + 2y)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2y)^2 + 5 = 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 2y)^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного выражения и положительного числа 5 всегда положительна: $(x + 2y)^2 + 5 \ge 5$. Левая часть уравнения не может равняться нулю, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0$

Перегруппируем слагаемые и выделим полный квадрат: $(x^2 - 2xy + y^2) + 8 = 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x - y)^2$. Уравнение принимает вид:

$(x - y)^2 + 8 = 0$

Так как $(x - y)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, левая часть уравнения всегда больше или равна 8. Таким образом, она не может равняться нулю, и уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого сгруппируем слагаемые и представим константу 6 как сумму $1 + 4 + 1$:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 = 0$

Это выражение можно переписать в виде суммы квадратов:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 = 0$

Сумма двух квадратов $(x - 1)^2$ и $(y - 2)^2$ неотрицательна. Прибавив к ней 1, мы получим выражение, которое всегда больше или равно 1: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1$. Левая часть не может быть равна нулю, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $z = xy$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $z$:

$z^2 - 2z + 3 = 0$

Выделим в левой части полный квадрат: $(z^2 - 2z + 1) + 2 = 0$, что равносильно $(z - 1)^2 + 2 = 0$.

Выражение $(z - 1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому левая часть уравнения $(z - 1)^2 + 2$ всегда больше или равна 2. Это означает, что уравнение не имеет действительных решений для $z$. Поскольку $z = xy$, то и исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.