Номер 515, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

515. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} 4x(x + y) + y^2 = 49, \\ 4x(x - y) + y^2 = 81; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64, \\ 3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x(x + y) + y^2 = 49 \\ 4x(x - y) + y^2 = 81 \end{cases} $

Раскроем скобки в каждом уравнении системы:

$ \begin{cases} 4x^2 + 4xy + y^2 = 49 \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 81 \end{cases} $

Заметим, что левые части уравнений можно свернуть по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$ \begin{cases} (2x + y)^2 = 49 \\ (2x - y)^2 = 81 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, получаем совокупность систем:

Из первого уравнения: $2x + y = 7$ или $2x + y = -7$.

Из второго уравнения: $2x - y = 9$ или $2x - y = -9$.

Это приводит к четырем системам линейных уравнений. Решим каждую из них.

1) $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x - y = 9 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 + 9 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$.
Подставим значение $x=4$ в первое уравнение: $2(4) + y = 7 \Rightarrow 8 + y = 7 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(4; -1)$.

2) $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x - y = -9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 - 9 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -0,5$.
Подставим $x = -0,5$ в первое уравнение: $2(-0,5) + y = 7 \Rightarrow -1 + y = 7 \Rightarrow y = 8$.
Получаем решение: $(-0,5; 8)$.

3) $ \begin{cases} 2x + y = -7 \\ 2x - y = 9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 + 9 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 0,5$.
Подставим $x = 0,5$ в первое уравнение: $2(0,5) + y = -7 \Rightarrow 1 + y = -7 \Rightarrow y = -8$.
Получаем решение: $(0,5; -8)$.

4) $ \begin{cases} 2x + y = -7 \\ 2x - y = -9 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 - 9 \Rightarrow 4x = -16 \Rightarrow x = -4$.
Подставим $x = -4$ в первое уравнение: $2(-4) + y = -7 \Rightarrow -8 + y = -7 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-4; 1)$.

Ответ: $(4; -1)$, $(-0,5; 8)$, $(0,5; -8)$, $(-4; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64 \\ 3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16 \end{cases} $

Раскроем скобки в каждом уравнении системы:

$ \begin{cases} 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 64 \\ 9x^2 + 12xy + 4y^2 = 16 \end{cases} $

Левые части уравнений представляют собой полные квадраты. Обратим внимание, что $4y^2 = (2y)^2$.

$ \begin{cases} (3x - 2y)^2 = 64 \\ (3x + 2y)^2 = 16 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, получаем:

Из первого уравнения: $3x - 2y = 8$ или $3x - 2y = -8$.

Из второго уравнения: $3x + 2y = 4$ или $3x + 2y = -4$.

Это приводит к четырем системам линейных уравнений. Решим каждую из них.

1) $ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = 4 + 8 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$.
Подставим $x = 2$ в первое уравнение: $3(2) + 2y = 4 \Rightarrow 6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(2; -1)$.

2) $ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = -8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = 4 - 8 \Rightarrow 6x = -4 \Rightarrow x = -2/3$.
Подставим $x = -2/3$ в первое уравнение: $3(-2/3) + 2y = 4 \Rightarrow -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
Получаем решение: $(-2/3; 3)$.

3) $ \begin{cases} 3x + 2y = -4 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = -4 + 8 \Rightarrow 6x = 4 \Rightarrow x = 2/3$.
Подставим $x = 2/3$ в первое уравнение: $3(2/3) + 2y = -4 \Rightarrow 2 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$.
Получаем решение: $(2/3; -3)$.

4) $ \begin{cases} 3x + 2y = -4 \\ 3x - 2y = -8 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(3x + 2y) + (3x - 2y) = -4 - 8 \Rightarrow 6x = -12 \Rightarrow x = -2$.
Подставим $x = -2$ в первое уравнение: $3(-2) + 2y = -4 \Rightarrow -6 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-2; 1)$.

Ответ: $(2; -1)$, $(-2/3; 3)$, $(2/3; -3)$, $(-2; 1)$.