Номер 520, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

520. Постройте график уравнения:

a) $\frac{y-x}{x-2} = 0;$

б) $\frac{y-x^2}{x^2-1} = 0;$

в) $\frac{x^2+y^2-16}{y^2-4} = 0;$

г) $\frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2} = 0.$

Для построения графика каждого уравнения мы воспользуемся общим правилом: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это означает, что для каждого случая мы найдем геометрическое место точек, задаваемое уравнением "числитель = 0", а затем исключим из него точки, для которых "знаменатель = 0".

а) $\frac{y - x}{x - 2} = 0$

1. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти основное уравнение графика:
$y - x = 0 \implies y = x$.
Это уравнение задает прямую линию, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

2. Теперь найдем точки, которые необходимо исключить, приравняв знаменатель к нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Это условие означает, что мы должны исключить из нашего графика все точки, у которых абсцисса равна 2.

3. Найдем конкретную точку на прямой $y=x$, которую нужно исключить. Подставим $x = 2$ в уравнение прямой:
$y = 2$.
Таким образом, из графика прямой $y=x$ необходимо исключить (выколоть) точку с координатами $(2, 2)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2, 2)$.

б) $\frac{y - x^2}{x^2 - 1} = 0$

1. Уравнение графика получаем из числителя:
$y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.
Это уравнение стандартной параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2. Условие на знаменатель:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Мы должны исключить из параболы точки, у которых абсциссы равны 1 и -1.

3. Найдем ординаты выкалываемых точек:
При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$. Исключаем точку $(1, 1)$.
При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Исключаем точку $(-1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

в) $\frac{x^2 + y^2 - 16}{y^2 - 4} = 0$

1. Уравнение графика из числителя:
$x^2 + y^2 - 16 = 0 \implies x^2 + y^2 = 16$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Условие на знаменатель:
$y^2 - 4 \neq 0 \implies y^2 \neq 4 \implies y \neq 2$ и $y \neq -2$.
Необходимо исключить из окружности точки, у которых ординаты равны 2 или -2.

3. Найдем абсциссы выкалываемых точек, подставив значения $y$ в уравнение окружности:
При $y = 2$: $x^2 + 2^2 = 16 \implies x^2 + 4 = 16 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2\sqrt{3}, 2)$ и $(-2\sqrt{3}, 2)$.
При $y = -2$: $x^2 + (-2)^2 = 16 \implies x^2 + 4 = 16 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2\sqrt{3}, -2)$ и $(-2\sqrt{3}, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 16$ с четырьмя выколотыми точками: $(2\sqrt{3}, 2)$, $(-2\sqrt{3}, 2)$, $(2\sqrt{3}, -2)$ и $(-2\sqrt{3}, -2)$.

г) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0$

1. Уравнение графика из числителя:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

2. Условие на знаменатель:
$x^2 - y^2 \neq 0 \implies x^2 \neq y^2 \implies y \neq x$ и $y \neq -x$.
Это означает, что мы должны исключить точки пересечения окружности с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

3. Найдем точки пересечения и исключим их:
Пересечение с прямой $y=x$:
$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как $y=x$, исключаются точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Пересечение с прямой $y=-x$:
$x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Исключаются точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 1$ с четырьмя выколотыми точками: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.