Номер 513, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

513. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x + y = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$

Подставим в эти формулы известные значения из системы: $x^2 + y^2 = 25$ и $xy = 12$.

1. Найдем $x+y$:
$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$.
Отсюда $x+y = \sqrt{49}$ или $x+y = -\sqrt{49}$, то есть $x+y = 7$ и $x+y = -7$.

2. Найдем $x-y$:
$(x-y)^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 25 - 24 = 1$.
Отсюда $x-y = \sqrt{1}$ или $x-y = -\sqrt{1}$, то есть $x-y = 1$ и $x-y = -1$.

Теперь мы можем составить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные равенства, и найти все пары решений $(x, y)$.

Случай 1: $ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = 1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7+1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x=4$.
Подставим $x=4$ в первое уравнение: $4+y=7 \Rightarrow y=3$.
Первая пара решений: $(4; 3)$.

Случай 2: $ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = -1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7-1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3$.
Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3+y=7 \Rightarrow y=4$.
Вторая пара решений: $(3; 4)$.

Случай 3: $ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = 1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7+1 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x=-3$.
Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3+y=-7 \Rightarrow y=-4$.
Третья пара решений: $(-3; -4)$.

Случай 4: $ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = -1. \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7-1 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x=-4$.
Подставим $x=-4$ в первое уравнение: $-4+y=-7 \Rightarrow y=-3$.
Четвертая пара решений: $(-4; -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Решим данную систему методом подстановки.

1. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 6 - x$.

2. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (6-x)^2 = 26$.

3. Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 26$
$2x^2 - 12x + 36 - 26 = 0$
$2x^2 - 12x + 10 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 - 6x + 5 = 0$.

4. Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни:
$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

5. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = 6 - x$.
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, система имеет две пары решений.
Ответ: $(1; 5), (5; 1)$.