Номер 511, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

511. Найдите все решения системы уравнений:

a) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$

Приведем к общему знаменателю $12t$:

$12t^2 + 12 = 25t$

$12t^2 - 25t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Отсюда $x = \frac{4}{3}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$

$(\frac{16}{9} - 1)y^2 = 7$

$\frac{7}{9}y^2 = 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Получаем решение $(4, 3)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$. Получаем решение $(-4, -3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Отсюда $x = \frac{3}{4}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$

$(\frac{9}{16} - 1)y^2 = 7$

$-\frac{7}{16}y^2 = 7$

$y^2 = -16$

Данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 3)$, $(-4, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Представим $2,1$ в виде дроби: $2,1 = \frac{21}{10}$.

В первом уравнении сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.

Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{21}{10}$

Приведем к общему знаменателю $10t$:

$10t^2 - 10 = 21t$

$10t^2 - 21t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 441 + 400 = 841 = 29^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 29}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 29}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$

Отсюда $x = \frac{5}{2}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

$(\frac{25}{4} + 1)y^2 = 29$

$\frac{29}{4}y^2 = 29$

$y^2 = 4$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{2}{5}$

Отсюда $x = -\frac{2}{5}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-\frac{2}{5}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{4}{25}y^2 + y^2 = 29$

$(\frac{4}{25} + 1)y^2 = 29$

$\frac{29}{25}y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y_3 = 5$ и $y_4 = -5$.

Если $y_3 = 5$, то $x_3 = -\frac{2}{5} \cdot 5 = -2$. Получаем решение $(-2, 5)$.

Если $y_4 = -5$, то $x_4 = -\frac{2}{5} \cdot (-5) = 2$. Получаем решение $(2, -5)$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(5, 2)$, $(-5, -2)$, $(-2, 5)$, $(2, -5)$.