Номер 3, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

a) $x + y \ge 4$;

б) $xy \ge 4$.

Для того чтобы изобразить множество решений этого неравенства, сначала рассмотрим соответствующее равенство $x + y = 4$. Это уравнение задает прямую линию. Его можно представить в виде $y = -x + 4$.

Чтобы построить эту прямую, найдем две точки, через которые она проходит. Например, если $x = 0$, то $y = 4$ (точка $(0, 4)$), а если $y = 0$, то $x = 4$ (точка $(4, 0)$). Соединив эти две точки, мы получим график прямой $y = -x + 4$. Поскольку исходное неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), сама прямая является частью решения и должна быть изображена сплошной линией.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего использовать начало координат, точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство $x + y \ge 4$: $0 + 0 \ge 4$, что упрощается до $0 \ge 4$. Полученное неравенство является ложным. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, не входит в множество решений. Следовательно, решением является другая полуплоскость – та, что лежит выше и правее прямой $y = -x + 4$.

Ответ: Множество решений – это замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой $y = -x + 4$, включая саму прямую и все точки, расположенные выше и правее нее.

Сначала построим границу области, заданную уравнением $xy = 4$. Это уравнение можно записать как $y = \frac{4}{x}$, что является уравнением гиперболы.

Эта гипербола имеет две ветви: одну в первой координатной четверти (где $x>0$ и $y>0$) и вторую в третьей координатной четверти (где $x<0$ и $y<0$). Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой гиперболе являются частью решения, поэтому ее ветви изображаются сплошными линиями.

Теперь определим, какие области удовлетворяют неравенству $xy \ge 4$. Произведение $xy$ может быть больше или равно 4 только когда $x$ и $y$ одного знака, то есть в I и III четвертях. Во II и IV четвертях решений нет, так как там произведение $xy$ отрицательно.
В I четверти, где $x > 0$, неравенство $xy \ge 4$ эквивалентно $y \ge \frac{4}{x}$. Это означает, что решениями являются все точки, лежащие на ветви гиперболы и над ней.
В III четверти, где $x < 0$, при делении неравенства $xy \ge 4$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \le \frac{4}{x}$. Это означает, что решениями являются все точки, лежащие на ветви гиперболы и под ней.

Ответ: Множество решений состоит из двух областей: первая — это ветвь гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в I четверти вместе со всеми точками над ней; вторая — это ветвь той же гиперболы в III четверти вместе со всеми точками под ней.