Номер 521, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

521. При каком значении a окружность $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$ проходит через точку:

а) A(2; 3);

б) B(7; -1);

в) C(-2; 7);

г) D(1; 5)?

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В данном случае уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$. Центр окружности находится в точке $(a, 3)$, а ее радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Чтобы найти значение $a$, при котором окружность проходит через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки $(x, y)$ в уравнение окружности и решить полученное уравнение относительно $a$.

а)

Подставим координаты точки $A(2; 3)$ в уравнение окружности:

$(2 - a)^2 + (3 - 3)^2 = 16$

$(2 - a)^2 + 0^2 = 16$

$(2 - a)^2 = 16$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $2 - a = 4 \implies a = 2 - 4 \implies a = -2$

2) $2 - a = -4 \implies a = 2 + 4 \implies a = 6$

Ответ: $a = -2$ или $a = 6$.

б)

Подставим координаты точки $B(7; -1)$ в уравнение окружности:

$(7 - a)^2 + (-1 - 3)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + (-4)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + 16 = 16$

$(7 - a)^2 = 0$

$7 - a = 0$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

в)

Подставим координаты точки $C(-2; 7)$ в уравнение окружности:

$(-2 - a)^2 + (7 - 3)^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 4^2 = 16$

$(-(2 + a))^2 + 16 = 16$

$(2 + a)^2 + 16 = 16$

$(2 + a)^2 = 0$

$2 + a = 0$

$a = -2$

Ответ: $a = -2$.

г)

Подставим координаты точки $D(1; 5)$ в уравнение окружности:

$(1 - a)^2 + (5 - 3)^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 2^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 4 = 16$

$(1 - a)^2 = 12$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $1 - a = \sqrt{12} \implies 1 - a = 2\sqrt{3} \implies a = 1 - 2\sqrt{3}$

2) $1 - a = -\sqrt{12} \implies 1 - a = -2\sqrt{3} \implies a = 1 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $a = 1 - 2\sqrt{3}$ или $a = 1 + 2\sqrt{3}$.