Страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

507. Решите систему уравнений

а) $\begin{cases} (x - 2y)(x + 3y) = 0, \\ x^2 - y^2 = 12; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - 6y = 0, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 2y)(x + 3y) = 0, \\ x^2 - y^2 = 12; \end{cases} $$

Первое уравнение $(x - 2y)(x + 3y) = 0$ выполняется, если один из множителей равен нулю. Это означает, что либо $x - 2y = 0$, либо $x + 3y = 0$. Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух независимых систем.

Случай 1: Решим систему

$$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $x = 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2y)^2 - y^2 = 12$

$4y^2 - y^2 = 12$

$3y^2 = 12$

$y^2 = 4$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получаем две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Случай 2: Решим систему

$$ \begin{cases} x + 3y = 0 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $x = -3y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(-3y)^2 - y^2 = 12$

$9y^2 - y^2 = 12$

$8y^2 = 12$

$y^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Отсюда $y_3 = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $y_4 = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_3 = \frac{\sqrt{6}}{2}$, $x_3 = -3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = -\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

При $y_4 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$, $x_4 = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Получаем еще две пары решений: $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ и $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$, $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - 6y = 0, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$(x^2 - 4xy + 3y^2) + (2x - 6y) = 0$

Квадратичный трехчлен $x^2 - 4xy + 3y^2$ можно разложить на множители как $(x-y)(x-3y)$. Линейную часть $2x - 6y$ можно представить как $2(x-3y)$. Тогда уравнение принимает вид:

$(x-y)(x-3y) + 2(x-3y) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-3y)$ за скобки:

$(x-3y)(x-y+2) = 0$

Это уравнение выполняется, если $x - 3y = 0$ или $x - y + 2 = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Решим систему

$$ \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения $x = 3y$. Подставим во второе уравнение:

$(3y)^2 - (3y)y + y^2 = 7$

$9y^2 - 3y^2 + y^2 = 7$

$7y^2 = 7$

$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Находим $x$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Получаем решения: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Случай 2: Решим систему

$$ \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения $x = y - 2$. Подставим во второе уравнение:

$(y-2)^2 - (y-2)y + y^2 = 7$

$(y^2 - 4y + 4) - (y^2 - 2y) + y^2 = 7$

$y^2 - 4y + 4 - y^2 + 2y + y^2 = 7$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $y_3 = 3$ и $y_4 = -1$.

Находим $x$:

При $y_3 = 3$, $x_3 = 3 - 2 = 1$.

При $y_4 = -1$, $x_4 = -1 - 2 = -3$.

Получаем решения: $(1, 3)$ и $(-3, -1)$.

Объединяя все найденные решения, получаем три уникальные пары чисел, так как решение $(-3, -1)$ было найдено в обоих случаях.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$, $(1, 3)$.