Страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

483. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

а) $y > 2x - 3;$

б) $y < 3x - 5;$

в) $y \leq x^2 - 1;$

г) $x^2 + y^2 \leq 9.$

а) $y > 2x - 3$

Чтобы найти решение неравенства, нужно подобрать такую пару чисел $(x, y)$, которая при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое высказывание. Для этого можно выбрать произвольное значение для одной переменной и на его основе найти подходящее значение для другой.

Первое решение:
Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=1$. Подставим его в неравенство:
$y > 2 \cdot 1 - 3$
$y > 2 - 3$
$y > -1$
Теперь выберем любое значение $y$, которое больше, чем -1. Например, $y=0$.
Таким образом, пара $(1, 0)$ является решением. Проверим: $0 > 2 \cdot 1 - 3 \implies 0 > -1$. Неравенство верно.

Второе решение:
Возьмем другое значение $x$, например, $x=3$. Подставим его в неравенство:
$y > 2 \cdot 3 - 3$
$y > 6 - 3$
$y > 3$
Выберем любое значение $y$, которое больше 3. Например, $y=5$.
Таким образом, пара $(3, 5)$ является решением. Проверим: $5 > 2 \cdot 3 - 3 \implies 5 > 3$. Неравенство верно.

Ответ: $(1, 0)$ и $(3, 5)$.

б) $y < 3x - 5$

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

Первое решение:
Возьмем $x=2$. Подставим в неравенство:
$y < 3 \cdot 2 - 5$
$y < 6 - 5$
$y < 1$
Выберем любое значение $y$, которое меньше 1. Например, $y=0$.
Пара $(2, 0)$ является решением. Проверка: $0 < 3 \cdot 2 - 5 \implies 0 < 1$. Верно.

Второе решение:
Возьмем $x=4$. Подставим в неравенство:
$y < 3 \cdot 4 - 5$
$y < 12 - 5$
$y < 7$
Выберем любое значение $y$, которое меньше 7. Например, $y=0$.
Пара $(4, 0)$ является решением. Проверка: $0 < 3 \cdot 4 - 5 \implies 0 < 7$. Верно.

Ответ: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

в) $y \le x^2 - 1$

Здесь неравенство нестрогое, поэтому $y$ может быть равен $x^2 - 1$.

Первое решение:
Возьмем $x=0$. Подставим в неравенство:
$y \le 0^2 - 1$
$y \le -1$
Выберем любое значение $y$, которое меньше или равно -1. Например, $y=-1$.
Пара $(0, -1)$ является решением. Проверка: $-1 \le 0^2 - 1 \implies -1 \le -1$. Верно.

Второе решение:
Возьмем $x=3$. Подставим в неравенство:
$y \le 3^2 - 1$
$y \le 9 - 1$
$y \le 8$
Выберем любое значение $y$, которое меньше или равно 8. Например, $y=5$.
Пара $(3, 5)$ является решением. Проверка: $5 \le 3^2 - 1 \implies 5 \le 8$. Верно.

Ответ: $(0, -1)$ и $(3, 5)$.

г) $x^2 + y^2 \le 9$

Данное неравенство описывает все точки внутри и на границе окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Чтобы найти решение, нужно выбрать любую пару $(x, y)$, для которой сумма квадратов координат не превышает 9.

Первое решение:
Проще всего взять центр окружности, точку $(0, 0)$.
Подставим в неравенство:
$0^2 + 0^2 \le 9$
$0 \le 9$
Неравенство верно, значит, пара $(0, 0)$ является решением.

Второе решение:
Возьмем любую другую точку, которая очевидно лежит внутри окружности, например, $(1, 1)$.
Подставим в неравенство:
$1^2 + 1^2 \le 9$
$1 + 1 \le 9$
$2 \le 9$
Неравенство верно, значит, пара $(1, 1)$ также является решением.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

484. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) $y \ge x$;

б) $y \le x - 1$;

в) $y > \frac{1}{2}x - 1$;

г) $y < \frac{1}{3}x - 3$.

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, задаваемое линейным неравенством, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившейся линейной функции (прямой). Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.
2. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то прямую следует рисовать пунктирной линией. Это означает, что точки на самой прямой не входят в решение.
3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то прямую следует рисовать сплошной линией. Это означает, что точки на прямой также являются частью решения.
4. Выбрать любую "пробную" точку, не лежащую на прямой (часто удобно использовать начало координат $(0, 0)$), и подставить ее координаты в исходное неравенство.
5. Если неравенство выполняется, то искомым множеством является та полуплоскость, в которой лежит пробная точка. Если неравенство не выполняется, то решением является другая полуплоскость.

Рассмотрим неравенство $y \ge x$.

1. Построим граничную прямую $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. Так как знак неравенства нестрогий ($\ge$), прямая будет сплошной.

3. Выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 1)$. Подставим её координаты в неравенство: $1 \ge 0$. Это верное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0, 1)$, то есть область над прямой $y = x$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge x$, — это все точки, расположенные на прямой $y=x$ и выше нее.

Рассмотрим неравенство $y \le x - 1$.

1. Построим граничную прямую $y = x - 1$. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$).

2. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому прямая будет сплошной.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \le 0 - 1$, или $0 \le -1$. Это неверное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = x - 1$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \le x - 1$, — это все точки, расположенные на прямой $y = x - 1$ и ниже нее.

Рассмотрим неравенство $y > \frac{1}{2}x - 1$.

1. Построим граничную прямую $y = \frac{1}{2}x - 1$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$).

2. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому прямую изображаем пунктирной линией.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 > \frac{1}{2}(0) - 1$, или $0 > -1$. Это верное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0, 0)$, то есть область над прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{2}x - 1$, — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$ (сама прямая не включается в множество).

Рассмотрим неравенство $y < \frac{1}{3}x - 3$.

1. Построим граничную прямую $y = \frac{1}{3}x - 3$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка $(0, -3)$); если $x=3$, то $y=-2$ (точка $(3, -2)$). Также можно взять точку пересечения с осью Ox: если $y=0$, то $x=9$ (точка $(9,0)$).

2. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому прямую изображаем пунктирной линией.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 < \frac{1}{3}(0) - 3$, или $0 < -3$. Это неверное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x - 3$, — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$ (сама прямая не включается в множество).

485. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством $ax + by > c$, если:

а) $a = 0, b = 1, c = 3$;

б) $a = 1, b = 0, c = 3$.

а) Для данного случая имеем коэффициенты $a = 0$, $b = 1$ и $c = 3$. Подставим эти значения в исходное неравенство $ax + by > c$:

$0 \cdot x + 1 \cdot y > 3$

После упрощения получаем неравенство:

$y > 3$

Это неравенство задает на координатной плоскости множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) строго больше 3.

Границей этого множества является прямая $y = 3$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через все точки с ординатой 3 (например, точку (0, 3)).

Поскольку неравенство строгое (знак "$>$"), сама граничная прямая не включается в множество решений. На графике такая прямая изображается пунктирной линией.

Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y = 3$.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $y > 3$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y=3$. Граница $y=3$ (изображаемая пунктиром) в это множество не входит.

б) Для данного случая имеем коэффициенты $a = 1$, $b = 0$ и $c = 3$. Подставим эти значения в исходное неравенство $ax + by > c$:

$1 \cdot x + 0 \cdot y > 3$

После упрощения получаем неравенство:

$x > 3$

Это неравенство задает на координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) строго больше 3.

Границей этого множества является прямая $x = 3$. Это вертикальная прямая, параллельная оси ординат (Oy) и проходящая через все точки с абсциссой 3 (например, точку (3, 0)).

Поскольку неравенство строгое (знак "$>$"), сама граничная прямая не включается в множество решений и изображается на графике пунктирной линией.

Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная правее пунктирной прямой $x = 3$.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $x > 3$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную правее прямой $x=3$. Граница $x=3$ (изображаемая пунктиром) в это множество не входит.

486. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) $x \ge 3$;

б) $y < -1$;

в) $1 < x < 4$;

г) $-3 \le y \le 3$.

а) $x \ge 3$ Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых больше или равна 3. Границей этого множества является прямая $x = 3$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку (3, 0) и параллельная оси ординат ($Oy$). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, лежащие на самой прямой $x=3$, также являются частью множества, поэтому границу изображаем сплошной линией. Решением неравенства является сама прямая $x=3$ и вся полуплоскость, расположенная справа от этой прямой. Ответ: полуплоскость, расположенная справа от прямой $x=3$, включая саму прямую.

б) $y < -1$ Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината (координата $y$) которых строго меньше -1. Границей этого множества является прямая $y = -1$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -1) и параллельная оси абсцисс ($Ox$). Поскольку неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой прямой $y=-1$, не являются частью множества, поэтому границу изображаем пунктирной линией. Решением неравенства является вся полуплоскость, расположенная ниже этой прямой. Ответ: открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=-1$.

в) $1 < x < 4$ Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых строго больше 1 и одновременно строго меньше 4. Границами этого множества являются две вертикальные прямые: $x = 1$ и $x = 4$. Поскольку неравенство строгое ($<$), обе граничные прямые не включаются в множество и изображаются пунктирными линиями. Решением является множество точек, расположенных между этими двумя прямыми. Ответ: вертикальная полоса, заключенная между прямыми $x=1$ и $x=4$, не включая сами прямые.

г) $-3 \le y \le 3$ Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината (координата $y$) которых больше или равна -3 и одновременно меньше или равна 3. Границами этого множества являются две горизонтальные прямые: $y = -3$ и $y = 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), обе граничные прямые включаются в множество и изображаются сплошными линиями. Решением является множество точек, расположенных между этими двумя прямыми, включая сами прямые. Ответ: горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y=-3$ и $y=3$, включая сами прямые.

487. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \le x^2 - 4;$

б) $y \ge (x - 2)^2 - 1;$

в) $x^2 + y^2 \le 25;$

г) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4.$

а) Для того чтобы изобразить множество решений неравенства $y \le x^2 - 4$, сначала построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), граница (сама парабола) включается в множество решений и изображается сплошной линией. Неравенство $y \le x^2 - 4$ означает, что искомые точки должны лежать на параболе или ниже нее. Для проверки выберем контрольную точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $0 \le 0^2 - 4$, что дает $0 \le -4$. Это неверно, следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Решением является область, расположенная ниже параболы, включая саму параболу.

Ответ: Множество решений — это все точки на параболе $y = x^2 - 4$ и в области под ней.

б) Рассмотрим неравенство $y \ge (x-2)^2 - 1$. Сначала построим график функции $y = (x-2)^2 - 1$. Это парабола, полученная из параболы $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Найдем точки пересечения с осью Ox: $(x-2)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 1 \Rightarrow x-2 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y=(0-2)^2-1 = 3$. Точка $(0, 3)$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (парабола) рисуется сплошной линией и входит в множество решений. Неравенство $y \ge (x-2)^2 - 1$ означает, что искомые точки должны лежать на параболе или выше нее. Возьмем контрольную точку $(2, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \ge (2-2)^2 - 1 \Rightarrow 0 \ge -1$. Это верно. Значит, область, содержащая точку $(2, 0)$ (то есть область "внутри" параболы), является решением.

Ответ: Множество решений — это все точки на параболе $y = (x-2)^2 - 1$ и в области над ней.

в) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 \le 25$. Границей множества является уравнение $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сама окружность включается в множество решений и изображается сплошной линией. Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ означает, что расстояние от любой точки множества до центра окружности $(0, 0)$ не должно превышать радиус 5. Следовательно, решением является круг, ограниченный данной окружностью, включая саму окружность. Проверим это с помощью контрольной точки $(0, 0)$: $0^2 + 0^2 \le 25 \Rightarrow 0 \le 25$. Это верно, значит, область внутри окружности является решением.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, включая его границу (окружность).

г) Рассмотрим неравенство $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4$. Границей множества является уравнение $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Это уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Центр окружности находится в точке $(a, b) = (1, 2)$, а ее радиус $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница (окружность) является частью решения и рисуется сплошной линией. Неравенство $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4$ описывает все точки, расстояние от которых до центра $(1, 2)$ не превышает радиус 2. Это означает, что решением является круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2. Проверим с помощью центра окружности, точки $(1, 2)$: $(1-1)^2 + (2-2)^2 \le 4 \Rightarrow 0 \le 4$. Это верно.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2, включая его границу (окружность).

488. (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $xy < 4$; б) $xy > -6$.

1) Разберите совместно пример 3, приведённый в пункте 21.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания и исправьте ошибки, если они допущены.

а) $xy < 4$

Чтобы изобразить множество решений неравенства $xy < 4$ на координатной плоскости, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала рассмотрим уравнение, соответствующее границе области: $xy = 4$. Это уравнение можно представить в виде функции обратной пропорциональности $y = \frac{4}{x}$.

2. Графиком этой функции является гипербола. Так как произведение $xy$ положительно, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

3. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой гиперболе, не входят в множество решений. Поэтому границу области — гиперболу $y = \frac{4}{x}$ — следует изобразить пунктирной линией.

4. Гипербола делит всю координатную плоскость на три области. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем пробную точку, не лежащую на линии графика. Самый удобный выбор — начало координат, точка $(0, 0)$.

5. Подставим координаты точки $(0, 0)$ в исходное неравенство $xy < 4$:
$0 \cdot 0 < 4$
$0 < 4$
Полученное неравенство является верным. Это означает, что область, содержащая точку $(0, 0)$, является множеством решений.

6. Таким образом, решением неравенства является область, расположенная между двумя ветвями гиперболы.

На рисунке ниже показана граница $y = \frac{4}{x}$ (синяя пунктирная линия) и пробная точка $(0, 0)$ (красная точка). Решением является заштрихованная область.

Ответ: Множество решений — это все точки координатной плоскости, расположенные между ветвями гиперболы $y = \frac{4}{x}$. Граница множества не включается.

б) $xy > -6$

Решение этого неравенства строится по аналогии с предыдущим.

1. Рассмотрим граничное уравнение $xy = -6$. Эквивалентная форма: $y = -\frac{6}{x}$.

2. Графиком этой функции также является гипербола. Поскольку произведение $xy$ отрицательно, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

3. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница области — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ — изображается пунктирной линией.

4. Для определения области решения снова воспользуемся пробной точкой $(0, 0)$, так как она не лежит на графике.

5. Подставим ее координаты в неравенство $xy > -6$:
$0 \cdot 0 > -6$
$0 > -6$
Это неравенство верное.

6. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(0, 0)$. Это область, которая находится между ветвями гиперболы.

На рисунке показана граница $y = -\frac{6}{x}$ (синяя пунктирная линия) и пробная точка $(0, 0)$ (красная точка). Решением является заштрихованная область.

Ответ: Множество решений — это область координатной плоскости, заключенная между ветвями гиперболы $y = -\frac{6}{x}$. Граница множества не включается.

489. Какое множество точек задаётся неравенством:

а) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0;$

б) $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0?$

а) Чтобы определить, какое множество точек задает неравенство $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр, а $R$ — радиус.

Сгруппируем слагаемые в исходном неравенстве:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 13 \le 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого воспользуемся формулой $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x-3)^2 - 9$.

Для $y$: $y^2 - 4y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство:

$((x-3)^2 - 9) + ((y-2)^2 - 4) + 13 \le 0$

Упростим полученное выражение:

$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 9 - 4 + 13 \le 0$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 \le 0$

Выражения $(x-3)^2$ и $(y-2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел может быть меньше или равна нулю только в том случае, когда оба числа равны нулю.

Следовательно, неравенство выполняется только при одновременном выполнении условий:

$(x-3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$

$(y-2)^2 = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$

Таким образом, неравенство удовлетворяется только в одной точке с координатами $(3, 2)$.

Ответ: Заданное неравенство определяет единственную точку $(3, 2)$.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0$.

Это неравенство задает некоторую область на координатной плоскости. Для определения этой области выразим переменную $y$:

$x^2 - 4x + 5 \ge y$

или

$y \le x^2 - 4x + 5$

Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2 - 4x + 5$. Это уравнение параболы.

Чтобы определить параметры этой параболы, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$

$y = (x-2)^2 + 1$

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(2, 1)$. Поскольку коэффициент при $(x-2)^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $y \le (x-2)^2 + 1$ описывает все точки, у которых ордината $y$ меньше или равна значению функции $x^2 - 4x + 5$ при том же $x$. Геометрически это означает множество всех точек, которые лежат на самой параболе $y = (x-2)^2 + 1$ и ниже неё.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством, представляет собой область, ограниченную сверху параболой $y = x^2 - 4x + 5$, включая саму параболу. Это все точки, лежащие на параболе и под ней.

490. Задайте неравенством с двумя переменными:

а) круг с центром в точке (2; 0) и радиусом, равным 3;

б) множество точек, расположенных вне круга с центром в точке (0; 4) и радиусом, равным 2.

а)

Круг с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ представляет собой множество точек $(x; y)$, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Это условие задается неравенством: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

В нашей задаче центр круга — это точка с координатами $(2; 0)$, а радиус равен 3. Подставим эти значения, где $x_0 = 2$, $y_0 = 0$ и $R = 3$, в общую формулу:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 \le 3^2$

Упростим полученное выражение:

$(x - 2)^2 + y^2 \le 9$

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 \le 9$.

б)

Множество точек, расположенных вне круга с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$, — это все точки $(x; y)$, расстояние от которых до центра строго больше радиуса. Это условие задается строгим неравенством: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$.

По условию, центр круга находится в точке $(0; 4)$, а радиус равен 2. Подставим значения $x_0 = 0$, $y_0 = 4$ и $R = 2$ в формулу:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 > 2^2$

Упрощая, получаем искомое неравенство:

$x^2 + (y - 4)^2 > 4$

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 > 4$.

491. Опишите неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:

а) выше параболы $y = x^2 - 9$;

б) ниже параболы $y = (x + 2)^2$.

а) Чтобы описать множество точек координатной плоскости, расположенных выше параболы $y = x^2 - 9$, необходимо понять, что означает "выше параболы".

Уравнение $y = x^2 - 9$ задает саму параболу. Это означает, что для любой точки $(x, y)$, лежащей на параболе, ее координаты удовлетворяют этому равенству.

Точки, расположенные "выше" параболы, при той же самой абсциссе $x$ должны иметь ординату $y$ большую, чем ордината точки на параболе. Для любого значения $x$ значение ординаты на параболе равно $x^2 - 9$. Следовательно, для точек выше параболы ордината $y$ должна быть больше этого значения.

Таким образом, условие, что точка $(x, y)$ находится выше параболы $y = x^2 - 9$, записывается в виде строгого неравенства:

$y > x^2 - 9$

Это неравенство описывает все точки плоскости, которые находятся в области над параболой, не включая саму параболу.

Ответ: $y > x^2 - 9$

б) Чтобы описать множество точек координатной плоскости, расположенных ниже параболы $y = (x + 2)^2$, рассуждаем аналогично.

Уравнение $y = (x + 2)^2$ задает саму параболу, которая является границей искомой области.

Точки, расположенные "ниже" параболы, при той же самой абсциссе $x$ должны иметь ординату $y$ меньшую, чем ордината точки на параболе. Для любого значения $x$ значение ординаты на параболе равно $(x + 2)^2$. Следовательно, для точек ниже параболы ордината $y$ должна быть меньше этого значения.

Это условие выражается строгим неравенством:

$y < (x + 2)^2$

Данное неравенство описывает все точки плоскости, которые находятся в области под параболой, не включая саму параболу.

Ответ: $y < (x + 2)^2$

492. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $xy \ge 0$;

б) $xy < 0$.

а)

Неравенство $xy \ge 0$ выполняется, когда произведение координат $x$ и $y$ является неотрицательным числом. Это происходит в двух случаях:

1. Обе координаты неотрицательны: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Это множество точек, образующих первую координатную четверть (I квадрант), включая положительные полуоси $Ox$, $Oy$ и начало координат.

2. Обе координаты неположительны: $x \le 0$ и $y \le 0$. Это множество точек, образующих третью координатную четверть (III квадрант), включая отрицательные полуоси $Ox$, $Oy$ и начало координат.

Таким образом, множество решений данного неравенства представляет собой объединение первой и третьей координатных четвертей. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), то точки, лежащие на осях координат ($x=0$ или $y=0$), также включаются в решение. Графически это заштрихованные I и III квадранты вместе с их границами — осями $Ox$ и $Oy$.

Ответ: Множество решений — это все точки, расположенные в I и III координатных четвертях, включая оси координат.

б)

Неравенство $xy < 0$ выполняется, когда произведение координат $x$ и $y$ является отрицательным числом. Это происходит, когда координаты имеют разные знаки. Возможны два случая:

1. Координата $x$ положительна, а $y$ отрицательна: $x > 0$ и $y < 0$. Это множество точек, образующих четвертую координатную четверть (IV квадрант).

2. Координата $x$ отрицательна, а $y$ положительна: $x < 0$ и $y > 0$. Это множество точек, образующих вторую координатную четверть (II квадрант).

Множество решений этого неравенства является объединением второй и четвертой координатных четвертей. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на осях координат ($x=0$ или $y=0$), не входят в множество решений. При изображении на координатной плоскости эти оси являются границами области и должны быть показаны пунктирными линиями.

Ответ: Множество решений — это все точки, расположенные во II и IV координатных четвертях, не включая оси координат.