Страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

454. При каких значениях x:

а) трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимает положительные значения;

б) трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимает отрицательные значения;

в) дробь $\frac{x + 14}{3 - 2x}$ принимает отрицательные значения;

г) дробь $\frac{6 - 5x}{x + 25}$ принимает положительные значения?

а) Чтобы трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимал положительные значения, необходимо решить неравенство $-x^2 - 2x + 168 > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 2x - 168 < 0$.
Для решения этого неравенства сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 168 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$x_1 = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.
$x_2 = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 168$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства $x^2 + 2x - 168 < 0$ — это интервал $(-14; 12)$.
Ответ: $x \in (-14; 12)$.

б) Чтобы трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимал отрицательные значения, нужно решить неравенство $15x^2 + x - 2 < 0$.
Найдём корни уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$.
$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
Графиком функции $y = 15x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=15 > 0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.
Ответ: $x \in (-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

в) Чтобы дробь $\frac{x+14}{3-2x}$ принимала отрицательные значения, решим неравенство $\frac{x+14}{3-2x} < 0$.
Используем метод интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14$.
Нуль знаменателя: $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1.5$. (Эта точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Нанесём точки $-14$ и $1.5$ на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -14)$: возьмём $x = -15$. $\frac{-15+14}{3-2(-15)} = \frac{-1}{33} < 0$. Знак "−".
- Интервал $(-14; 1.5)$: возьмём $x = 0$. $\frac{0+14}{3-0} = \frac{14}{3} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(1.5; +\infty)$: возьмём $x = 2$. $\frac{2+14}{3-2(2)} = \frac{16}{-1} < 0$. Знак "−".
Нам нужны интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-\infty; -14) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Чтобы дробь $\frac{6-5x}{x+25}$ принимала положительные значения, решим неравенство $\frac{6-5x}{x+25} > 0$.
Решим методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1.2$.
Нуль знаменателя: $x + 25 = 0 \Rightarrow x = -25$. (Точка выколота).
Нанесём точки $-25$ и $1.2$ на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -25)$: возьмём $x = -26$. $\frac{6-5(-26)}{-26+25} = \frac{136}{-1} < 0$. Знак "−".
- Интервал $(-25; 1.2)$: возьмём $x = 0$. $\frac{6-0}{0+25} = \frac{6}{25} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(1.2; +\infty)$: возьмём $x = 2$. $\frac{6-5(2)}{2+25} = \frac{-4}{27} < 0$. Знак "−".
Нам нужен интервал со знаком "+".
Ответ: $x \in (-25; 1.2)$.

455. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть одно искомое число будет $x$, а второе — $y$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

$x + y = 12$

$x \cdot y = 35$

Эту систему можно решить методом подстановки. Для этого выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 12 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x \cdot (12 - x) = 35$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$12x - x^2 = 35$

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Полученное квадратное уравнение можно решить двумя способами: с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

1. Решение по теореме Виета.
Согласно обратной теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть, нам нужно найти два числа, сумма которых равна 12, а произведение — 35. Путем подбора находим, что эти числа — 5 и 7, так как:

$5 + 7 = 12$

$5 \cdot 7 = 35$

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

2. Решение через дискриминант.
Для уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-12$, $c=35$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Оба способа дают нам два возможных значения для $x$: 5 и 7. Теперь найдем соответствующие значения для $y$, используя ранее выведенную формулу $y = 12 - x$.

Если $x = 5$, то $y = 12 - 5 = 7$.

Если $x = 7$, то $y = 12 - 7 = 5$.

Таким образом, в любом случае искомые числа — это 5 и 7.

Выполним проверку: сумма чисел $5+7=12$, произведение чисел $5 \cdot 7=35$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 5 и 7.

456. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно -12.

Найдите эти числа.

Обозначим одно из искомых чисел за $x$.

Согласно условию, второе число на 7 больше первого, следовательно, оно равно $x + 7$.

Произведение этих чисел равно -12. На основе этого составим уравнение:

$x \cdot (x + 7) = -12$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 7x = -12$

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать, например, через вычисление дискриминанта.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=7$, $c=12$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Мы получили два возможных значения для первого числа ($x$). Теперь необходимо найти второе число ($x+7$) для каждого из этих случаев.

Случай 1

Если первое число равно $-3$, то второе число равно $x + 7 = -3 + 7 = 4$.

Проверим эту пару чисел: число $4$ действительно на 7 больше, чем $-3$ (так как $4 - (-3) = 7$), и их произведение равно $-3 \cdot 4 = -12$. Эта пара чисел является решением.

Случай 2

Если первое число равно $-4$, то второе число равно $x + 7 = -4 + 7 = 3$.

Проверим эту пару чисел: число $3$ действительно на 7 больше, чем $-4$ (так как $3 - (-4) = 7$), и их произведение равно $-4 \cdot 3 = -12$. Эта пара чисел также является решением.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: $-3$ и $4$ или $-4$ и $3$.

457. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 28$

Разделив обе части на 2, получим:

$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, его длина $a$ и ширина $b$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали: $a^2 + b^2 = d^2$. По условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 10^2$

$a^2 + b^2 = 100$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $b = 14 - a$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$:

$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$

$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Легко подобрать корни: это числа 6 и 8.

$a_1 = 6$, $a_2 = 8$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$:

Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.

Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.