Страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

469. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Примем весь объём земляных работ за 1 (единицу).

Пусть время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может выполнить всю работу, составляет $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет тот же объём работ на 4 часа дольше, то есть за $(x + 4)$ часа. Его производительность равна $P_2 = \frac{1}{x+4}$.

Работая вместе, два экскаватора выполняют работу за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч } = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа.

Совместная производительность двух экскаваторов — это сумма их индивидуальных производительностей: $P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

Объём работы равен произведению совместной производительности на время совместной работы. Используя эту зависимость, составим уравнение: $1 = P_{\text{общ}} \times t_{\text{общ}}$
$1 = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} \right) \cdot \frac{15}{4}$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на $\frac{15}{4}$: $\frac{4}{15} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: $\frac{4}{15} = \frac{(x+4) + x}{x(x+4)}$
$\frac{4}{15} = \frac{2x+4}{x^2+4x}$

Используя правило пропорции (перекрёстное умножение), получим: $4(x^2+4x) = 15(2x+4)$
$4x^2 + 16x = 30x + 60$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $2x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи. Значит, время выполнения работы первым, более быстрым, экскаватором составляет 6 часов.

Время выполнения работы вторым экскаватором: $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору для выполнения всего объёма земляных работ требуется 6 часов, а другому — 10 часов.

470. Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на $1 \text{ дм}^2$, то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.

Пусть $S$ - первоначальная площадь опоры в квадратных дециметрах (дм²). По условию, масса груза равна 30 кг.

Масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, в начальный момент времени составляет:

$p_1 = \frac{30}{S}$ кг/дм²

Согласно условию задачи, массу груза уменьшили на 2 кг, а площадь опоры уменьшили на 1 дм². Новые значения массы и площади будут:

$m_2 = 30 - 2 = 28$ кг

$S_2 = S - 1$ дм²

Новая масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, стала:

$p_2 = \frac{m_2}{S_2} = \frac{28}{S - 1}$ кг/дм²

Известно, что эта новая величина на 1 кг больше первоначальной:

$p_2 = p_1 + 1$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в это уравнение:

$\frac{28}{S - 1} = \frac{30}{S} + 1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{28}{S - 1} = \frac{30 + S}{S}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $S \neq 0$ и $S \neq 1$:

$28S = (S - 1)(30 + S)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$28S = 30S + S^2 - 30 - S$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$28S = S^2 + 29S - 30$

$S^2 + 29S - 28S - 30 = 0$

$S^2 + S - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни. Сумма корней должна быть -1, а их произведение -30. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -6.

$S_1 = 5$

$S_2 = -6$

Так как площадь опоры не может быть отрицательной величиной, корень $S_2 = -6$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $S_1 = 5$.

Проверим найденное решение:
Первоначальная масса на единицу площади: $p_1 = \frac{30}{5} = 6$ кг/дм².
Новая масса на единицу площади: $p_2 = \frac{28}{5 - 1} = \frac{28}{4} = 7$ кг/дм².
Разница составляет $7 - 6 = 1$ кг/дм², что соответствует условию задачи.

Ответ: 5 дм².

471. Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса детали старого типа. Тогда, согласно условию, масса детали нового типа составляет $(x - 0,2)$ кг.

Количество деталей старого типа, которое можно изготовить из 24 кг металла, равно $\frac{24}{x}$.

Количество деталей нового типа, которое можно изготовить из 22 кг металла, равно $\frac{22}{x - 0,2}$.

Из условия известно, что деталей нового типа изготавливают на две больше, чем деталей старого типа. На основе этого составим уравнение:

$\frac{22}{x - 0,2} - \frac{24}{x} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x-0,2)$. Учтем, что масса детали не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$. Также масса новой детали должна быть положительной, поэтому $x - 0,2 > 0$, что означает $x > 0,2$.

$\frac{22x - 24(x - 0,2)}{x(x - 0,2)} = 2$

$\frac{22x - 24x + 4,8}{x^2 - 0,2x} = 2$

$\frac{4,8 - 2x}{x^2 - 0,2x} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$4,8 - 2x = 2(x^2 - 0,2x)$

$4,8 - 2x = 2x^2 - 0,4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 0,4x + 2x - 4,8 = 0$

$2x^2 + 1,6x - 4,8 = 0$

Для удобства вычислений разделим всё уравнение на 2:

$x^2 + 0,8x - 2,4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (0,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,4) = 0,64 + 9,6 = 10,24$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0,8 \pm \sqrt{10,24}}{2 \cdot 1} = \frac{-0,8 \pm 3,2}{2}$

$x_1 = \frac{-0,8 + 3,2}{2} = \frac{2,4}{2} = 1,2$

$x_2 = \frac{-0,8 - 3,2}{2} = \frac{-4,0}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи ($x > 0,2$), так как масса не может быть отрицательной. Следовательно, масса детали старого типа равна 1,2 кг.

Теперь найдем массу детали нового типа:

$1,2 - 0,2 = 1,0$ кг.

Проверим полученные результаты:

Количество деталей старого типа: $\frac{24}{1,2} = 20$ штук.

Количество деталей нового типа: $\frac{22}{1,0} = 22$ штуки.

Разница в количестве составляет $22 - 20 = 2$ детали, что соответствует условию задачи.

Ответ: масса детали нового типа — 1,0 кг, масса детали старого типа — 1,2 кг.

472. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта A пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Обозначим скорость пешехода, вышедшего из пункта А, как $v_A$ (в км/ч), а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, как $v_B$ (в км/ч). Общее расстояние между пунктами $S = 40$ км.

Из первого условия задачи известно, что пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу, и через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Это означает, что за 4 часа они вместе преодолели расстояние $40 - 4 = 36$ км. Скорость сближения пешеходов равна $v_A + v_B$. Таким образом, можно составить первое уравнение: $4 \cdot (v_A + v_B) = 36$.

Разделив обе части уравнения на 4, получим: $v_A + v_B = 9$.

Из второго условия известно, что если бы пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. Середина пути находится на расстоянии $40 / 2 = 20$ км от каждого из пунктов.

Это значит, что для встречи на середине пути пешеход из А должен пройти 20 км, и пешеход из В также должен пройти 20 км. Время, которое требуется пешеходу из А на этот путь, составляет $t_A = \frac{20}{v_A}$ часов. Время, которое требуется пешеходу из В, составляет $t_B = \frac{20}{v_B}$ часов.

Поскольку пешеход из А вышел на 1 час раньше, он находился в пути на 1 час дольше. Следовательно, $t_A = t_B + 1$. Составим второе уравнение: $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} v_A + v_B = 9 \\ \frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_A$: $v_A = 9 - v_B$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{20}{9 - v_B} = \frac{20}{v_B} + 1$.

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю: $\frac{20}{9 - v_B} = \frac{20 + v_B}{v_B}$.
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $20v_B = (9 - v_B)(20 + v_B)$.
Раскроем скобки в правой части: $20v_B = 180 + 9v_B - 20v_B - v_B^2$
$20v_B = 180 - 11v_B - v_B^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_B^2 + 20v_B + 11v_B - 180 = 0$
$v_B^2 + 31v_B - 180 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$): $D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.
Найдем возможные значения для $v_B$: $v_{B1} = \frac{-31 + 41}{2} = \frac{10}{2} = 5$. $v_{B2} = \frac{-31 - 41}{2} = \frac{-72}{2} = -36$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому единственное верное решение: $v_B = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость пешехода из пункта А, подставив найденное значение $v_B$ в первое уравнение: $v_A = 9 - v_B = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, $v_A = 4$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 4 км/ч, а другого 5 км/ч.

473. Из пункта $M$ в пункт $N$, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт $N$ на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость более быстрого туриста. Тогда скорость второго, более медленного туриста, равна $(v-1)$ км/ч. Расстояние $S$ между пунктами M и N составляет 18 км.

Время, которое затратил на путь первый (быстрый) турист, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v}$, что составляет $t_1 = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь второй (медленный) турист, равно $t_2 = \frac{S}{v-1}$, что составляет $t_2 = \frac{18}{v-1}$ часов.

По условию задачи, один из туристов прибыл в пункт N на 54 минуты позже другого. Это означает, что время в пути медленного туриста было больше. Переведем разницу во времени из минут в часы для согласованности единиц измерения:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}.$

Разница во времени между туристами составляет $t_2 - t_1 = 0.9$ ч. Составим уравнение на основе этой информации:

$\frac{18}{v-1} - \frac{18}{v} = 0.9$

Для решения этого рационального уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v-1)$:

$\frac{18v - 18(v-1)}{v(v-1)} = 0.9$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18v - 18v + 18}{v^2 - v} = 0.9$

$\frac{18}{v^2 - v} = 0.9$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 - v)$, учитывая, что скорость $v$ должна быть больше 1, так как скорость второго туриста $(v-1)$ должна быть положительной. Таким образом, знаменатель не равен нулю.

$18 = 0.9(v^2 - v)$

Разделим обе части уравнения на 0.9:

$\frac{18}{0.9} = v^2 - v$

$20 = v^2 - v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - v - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$v_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -4$ не является решением задачи. Следовательно, скорость быстрого туриста равна $v = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость медленного туриста:

$v - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Таким образом, скорости туристов равны 5 км/ч и 4 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 5 км/ч, а скорость другого туриста 4 км/ч.

474. Из населённых пунктов $M$ и $N$, удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт $M$ на 25 мин раньше, чем другой — в пункт $N$.

Пусть $S$ — расстояние между населёнными пунктами M и N, $v_1$ — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта M, а $v_2$ — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта N. Единицы измерения скорости — км/ч, времени — часы.

По условию задачи дано:

• Расстояние $S = 50$ км.
• Время до встречи $t_{встр} = 30$ мин $= \frac{30}{60}$ ч $= 0.5$ ч.
• Разница во времени прибытия $\Delta t = 25$ мин $= \frac{25}{60}$ ч $= \frac{5}{12}$ ч.

Когда мотоциклисты едут навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. До момента встречи они вместе проезжают всё расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$50 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$

Выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{50}{0.5} = 100$

Теперь рассмотрим второе условие. Время, которое первый мотоциклист (из M в N) затратил на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$.

Время, которое второй мотоциклист (из N в M) затратил на весь путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$.

В условии сказано, что мотоциклист, прибывший в пункт M (это второй мотоциклист), сделал это на 25 минут раньше, чем другой прибыл в пункт N. Это означает, что время второго мотоциклиста в пути меньше времени первого: $t_2 < t_1$.

Составим второе уравнение на основе разницы во времени:

$t_1 - t_2 = \Delta t$

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{v_2} = \frac{5}{12}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{50}{v_1} - \frac{50}{v_2} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{100 - v_1} = \frac{5}{12}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{100 - v_1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{10(100 - v_1) - 10v_1}{v_1(100 - v_1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{1000 - 10v_1 - 10v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{1000 - 20v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим квадратное уравнение:

$12 \cdot (1000 - 20v_1) = 1 \cdot (100v_1 - v_1^2)$

$12000 - 240v_1 = 100v_1 - v_1^2$

$v_1^2 - 240v_1 - 100v_1 + 12000 = 0$

$v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$

$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$

Находим возможные значения для $v_1$:

$v_{1,1} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$

$v_{1,2} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня:

1. Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.
2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Оба значения скорости положительны и являются решением.

Таким образом, скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта M, составляет 40 км/ч, а скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта N, — 60 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.

475. После того как смешали 12 г одной жидкости с 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна $1.3 \text{ г/см}^3$. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на $0.2 \text{ г/см}^3$ больше плотности другой?

Обозначим массу первой жидкости $m_1$, её плотность $\rho_1$. Массу второй жидкости обозначим $m_2$, её плотность $\rho_2$. Плотность полученной смеси — $\rho_{смеси}$.

Согласно условию задачи:
Масса первой жидкости: $m_1 = 12$ г.
Масса второй жидкости: $m_2 = 14$ г.
Плотность смеси: $\rho_{смеси} = 1,3$ г/см³.

Также известно, что вторая жидкость (массой 14 г) имеет большую плотность, и разница плотностей составляет $0,2$ г/см³. Запишем это в виде математического соотношения:
$\rho_2 = \rho_1 + 0,2$ г/см³

Плотность смеси вычисляется по формуле, исходя из того, что общая масса равна сумме масс компонентов, а общий объем — сумме объемов (предполагая аддитивность объемов при смешивании):
$\rho_{смеси} = \frac{M_{общ}}{V_{общ}} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$

Поскольку объем связан с массой и плотностью как $V = \frac{m}{\rho}$, формулу можно переписать так:
$\rho_{смеси} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}$

Подставим в формулу известные значения и выражение для $\rho_2$:
$1,3 = \frac{12 + 14}{\frac{12}{\rho_1} + \frac{14}{\rho_1 + 0,2}}$

Теперь решим это уравнение относительно $\rho_1$:
$1,3 = \frac{26}{\frac{12(\rho_1 + 0,2) + 14\rho_1}{\rho_1(\rho_1 + 0,2)}}$
$1,3 = \frac{26 \cdot \rho_1(\rho_1 + 0,2)}{12\rho_1 + 2,4 + 14\rho_1}$
$1,3 = \frac{26 (\rho_1^2 + 0,2\rho_1)}{26\rho_1 + 2,4}$

Разделим обе части уравнения на 26:
$\frac{1,3}{26} = \frac{\rho_1^2 + 0,2\rho_1}{26\rho_1 + 2,4}$
$0,05 = \frac{\rho_1^2 + 0,2\rho_1}{26\rho_1 + 2,4}$

Умножим обе части на знаменатель $(26\rho_1 + 2,4)$:
$0,05(26\rho_1 + 2,4) = \rho_1^2 + 0,2\rho_1$
$1,3\rho_1 + 0,12 = \rho_1^2 + 0,2\rho_1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $a\rho_1^2 + b\rho_1 + c = 0$:
$\rho_1^2 + 0,2\rho_1 - 1,3\rho_1 - 0,12 = 0$
$\rho_1^2 - 1,1\rho_1 - 0,12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1,1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,12) = 1,21 + 0,48 = 1,69$
$\sqrt{D} = \sqrt{1,69} = 1,3$

Корни уравнения равны:
$(\rho_1)_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,1 + 1,3}{2} = \frac{2,4}{2} = 1,2$
$(\rho_1)_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,1 - 1,3}{2} = \frac{-0,2}{2} = -0,1$

Плотность не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, плотность первой жидкости (менее плотной):
$\rho_1 = 1,2$ г/см³

Теперь найдем плотность второй жидкости (более плотной):
$\rho_2 = \rho_1 + 0,2 = 1,2 + 0,2 = 1,4$ г/см³

Ответ: плотность одной жидкости 1,2 г/см³, плотность другой жидкости 1,4 г/см³.

476. Из куска олова массой $356 \text{ г}$ и куска меди массой $438 \text{ г}$ сделали сплав. Известно, что плотность олова на $1.6 \text{ г/см}^3$ больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на $20 \text{ см}^3$ меньше объёма куска меди.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_о$ — масса куска олова, $m_о = 356$ г.
• $m_м$ — масса куска меди, $m_м = 438$ г.
• $V_о$ — объём куска олова (в см³).
• $V_м$ — объём куска меди (в см³).
• $\rho_о$ — плотность олова (в г/см³).
• $\rho_м$ — плотность меди (в г/см³).

Из условий задачи нам известны следующие соотношения:

1. Плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди: $\rho_о = \rho_м + 1.6$.
2. Объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди: $V_о = V_м - 20$.

Основная формула, связывающая массу, объём и плотность, выглядит так: $\rho = \frac{m}{V}$.

Выразим плотности олова и меди через их массы и объёмы:

$\rho_о = \frac{m_о}{V_о} = \frac{356}{V_о}$

$\rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{438}{V_м}$

Теперь подставим эти выражения в первое соотношение ($\rho_о = \rho_м + 1.6$):

$\frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1.6$

Мы получили уравнение с двумя неизвестными, $V_о$ и $V_м$. Используем второе соотношение ($V_о = V_м - 20$) для подстановки в это уравнение, чтобы осталась только одна переменная $V_м$:

$\frac{356}{V_м - 20} = \frac{438}{V_м} + 1.6$

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части на $V_м(V_м - 20)$. Предполагаем, что $V_м \neq 0$ и $V_м \neq 20$, что физически очевидно.

$356 \cdot V_м = 438 \cdot (V_м - 20) + 1.6 \cdot V_м \cdot (V_м - 20)$

Раскроем скобки:

$356 V_м = 438 V_м - 8760 + 1.6 V_м^2 - 32 V_м$

Приведем все члены к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение вида $a x^2 + b x + c = 0$:

$1.6 V_м^2 + (438 - 32 - 356) V_м - 8760 = 0$

$1.6 V_м^2 + 50 V_м - 8760 = 0$

Для удобства вычислений умножим всё уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$16 V_м^2 + 500 V_м - 87600 = 0$

Сократим уравнение, разделив все коэффициенты на 4:

$4 V_м^2 + 125 V_м - 21900 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 125^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21900) = 15625 + 16 \cdot 21900 = 15625 + 350400 = 366025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{366025} = 605$.

Теперь найдем корни уравнения для $V_м$:

$V_{м1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 + 605}{2 \cdot 4} = \frac{480}{8} = 60$

$V_{м2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 - 605}{2 \cdot 4} = \frac{-730}{8} = -91.25$

Поскольку объём не может быть отрицательной величиной, второй корень нам не подходит. Таким образом, объём куска меди равен 60 см³.

Теперь найдем объём куска олова, используя соотношение $V_о = V_м - 20$:

$V_о = 60 - 20 = 40$ см³.

Проверим найденные значения. Плотность меди: $\rho_м = \frac{438}{60} = 7.3$ г/см³. Плотность олова: $\rho_о = \frac{356}{40} = 8.9$ г/см³. Разница плотностей: $\rho_о - \rho_м = 8.9 - 7.3 = 1.6$ г/см³. Все условия задачи выполнены.

Ответ: объём куска олова равен 40 см³, объём куска меди равен 60 см³.