Номер 476, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

476. Из куска олова массой $356 \text{ г}$ и куска меди массой $438 \text{ г}$ сделали сплав. Известно, что плотность олова на $1.6 \text{ г/см}^3$ больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на $20 \text{ см}^3$ меньше объёма куска меди.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_о$ — масса куска олова, $m_о = 356$ г.
• $m_м$ — масса куска меди, $m_м = 438$ г.
• $V_о$ — объём куска олова (в см³).
• $V_м$ — объём куска меди (в см³).
• $\rho_о$ — плотность олова (в г/см³).
• $\rho_м$ — плотность меди (в г/см³).

Из условий задачи нам известны следующие соотношения:

1. Плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди: $\rho_о = \rho_м + 1.6$.
2. Объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди: $V_о = V_м - 20$.

Основная формула, связывающая массу, объём и плотность, выглядит так: $\rho = \frac{m}{V}$.

Выразим плотности олова и меди через их массы и объёмы:

$\rho_о = \frac{m_о}{V_о} = \frac{356}{V_о}$

$\rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{438}{V_м}$

Теперь подставим эти выражения в первое соотношение ($\rho_о = \rho_м + 1.6$):

$\frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1.6$

Мы получили уравнение с двумя неизвестными, $V_о$ и $V_м$. Используем второе соотношение ($V_о = V_м - 20$) для подстановки в это уравнение, чтобы осталась только одна переменная $V_м$:

$\frac{356}{V_м - 20} = \frac{438}{V_м} + 1.6$

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части на $V_м(V_м - 20)$. Предполагаем, что $V_м \neq 0$ и $V_м \neq 20$, что физически очевидно.

$356 \cdot V_м = 438 \cdot (V_м - 20) + 1.6 \cdot V_м \cdot (V_м - 20)$

Раскроем скобки:

$356 V_м = 438 V_м - 8760 + 1.6 V_м^2 - 32 V_м$

Приведем все члены к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение вида $a x^2 + b x + c = 0$:

$1.6 V_м^2 + (438 - 32 - 356) V_м - 8760 = 0$

$1.6 V_м^2 + 50 V_м - 8760 = 0$

Для удобства вычислений умножим всё уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$16 V_м^2 + 500 V_м - 87600 = 0$

Сократим уравнение, разделив все коэффициенты на 4:

$4 V_м^2 + 125 V_м - 21900 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 125^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21900) = 15625 + 16 \cdot 21900 = 15625 + 350400 = 366025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{366025} = 605$.

Теперь найдем корни уравнения для $V_м$:

$V_{м1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 + 605}{2 \cdot 4} = \frac{480}{8} = 60$

$V_{м2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 - 605}{2 \cdot 4} = \frac{-730}{8} = -91.25$

Поскольку объём не может быть отрицательной величиной, второй корень нам не подходит. Таким образом, объём куска меди равен 60 см³.

Теперь найдем объём куска олова, используя соотношение $V_о = V_м - 20$:

$V_о = 60 - 20 = 40$ см³.

Проверим найденные значения. Плотность меди: $\rho_м = \frac{438}{60} = 7.3$ г/см³. Плотность олова: $\rho_о = \frac{356}{40} = 8.9$ г/см³. Разница плотностей: $\rho_о - \rho_м = 8.9 - 7.3 = 1.6$ г/см³. Все условия задачи выполнены.

Ответ: объём куска олова равен 40 см³, объём куска меди равен 60 см³.