Номер 478, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

478. В каких координатных четвертях нет ни одной точки графика функции:

а) $y = -3,5x^2 - 2,6;$

б) $y = x^2 - 12x + 34?$

а)

Рассмотрим функцию $y = -3,5x^2 - 2,6$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициент $a = -3,5$ является отрицательным, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-3,5)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = -3,5 \cdot 0^2 - 2,6 = -2,6$.
Вершина параболы находится в точке $(0; -2,6)$. Эта точка лежит на отрицательной части оси Oy.
Так как вершина параболы является её наивысшей точкой (ветви направлены вниз), то максимальное значение функции равно $-2,6$. Это означает, что для любой точки графика $(x, y)$ выполняется неравенство $y \le -2,6$.
Вспомним знаки координат в четвертях:
I четверть: $x > 0, y > 0$
II четверть: $x < 0, y > 0$
III четверть: $x < 0, y < 0$
IV четверть: $x > 0, y < 0$
Поскольку для всех точек графика координата $y$ отрицательна, график не может содержать точек с положительной координатой $y$. Квадранты, где $y > 0$, — это I и II. Следовательно, в I и II координатных четвертях нет ни одной точки графика данной функции.

Ответ: в I и II четвертях.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 12x + 34$.
Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = 1$ является положительным, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Ордината вершины: $y_0 = 6^2 - 12 \cdot 6 + 34 = 36 - 72 + 34 = -2$.
Вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Эта точка расположена в IV четверти, так как её абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$).
Так как ветви параболы направлены вверх, вершина является самой низкой точкой графика, и минимальное значение функции равно $-2$.
Проанализируем расположение графика по четвертям:
- График имеет точку $(6; -2)$ в IV четверти.
- Поскольку ветви направлены вверх от точки в IV четверти, парабола будет подниматься и пересекать ось Ox. При $x > 6$ значения $y$ будут расти, переходя из отрицательных в положительные. Следовательно, часть графика находится в I четверти.
- Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x = 0$: $y = 0^2 - 12 \cdot 0 + 34 = 34$. Точка $(0; 34)$ лежит на положительной части оси Oy. Так как левая ветвь параболы проходит через эту точку, а при $x < 0$ значения $y$ продолжают увеличиваться, то часть графика находится во II четверти (где $x < 0, y > 0$).
- Проверим III четверть (где $x < 0, y < 0$). Как мы выяснили, при $x=0$ значение $y=34$, а при $x < 0$ парабола идёт вверх, то есть значения $y$ будут больше 34. Минимальное значение функции $y=-2$ достигается при $x=6$. Таким образом, при $x < 0$ значение $y$ всегда будет положительным. Следовательно, в III четверти нет ни одной точки графика.
Итак, график функции проходит через I, II и IV четверти.

Ответ: в III четверти.