Номер 471, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

471. Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса детали старого типа. Тогда, согласно условию, масса детали нового типа составляет $(x - 0,2)$ кг.

Количество деталей старого типа, которое можно изготовить из 24 кг металла, равно $\frac{24}{x}$.

Количество деталей нового типа, которое можно изготовить из 22 кг металла, равно $\frac{22}{x - 0,2}$.

Из условия известно, что деталей нового типа изготавливают на две больше, чем деталей старого типа. На основе этого составим уравнение:

$\frac{22}{x - 0,2} - \frac{24}{x} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x-0,2)$. Учтем, что масса детали не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$. Также масса новой детали должна быть положительной, поэтому $x - 0,2 > 0$, что означает $x > 0,2$.

$\frac{22x - 24(x - 0,2)}{x(x - 0,2)} = 2$

$\frac{22x - 24x + 4,8}{x^2 - 0,2x} = 2$

$\frac{4,8 - 2x}{x^2 - 0,2x} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$4,8 - 2x = 2(x^2 - 0,2x)$

$4,8 - 2x = 2x^2 - 0,4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 0,4x + 2x - 4,8 = 0$

$2x^2 + 1,6x - 4,8 = 0$

Для удобства вычислений разделим всё уравнение на 2:

$x^2 + 0,8x - 2,4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (0,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,4) = 0,64 + 9,6 = 10,24$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0,8 \pm \sqrt{10,24}}{2 \cdot 1} = \frac{-0,8 \pm 3,2}{2}$

$x_1 = \frac{-0,8 + 3,2}{2} = \frac{2,4}{2} = 1,2$

$x_2 = \frac{-0,8 - 3,2}{2} = \frac{-4,0}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи ($x > 0,2$), так как масса не может быть отрицательной. Следовательно, масса детали старого типа равна 1,2 кг.

Теперь найдем массу детали нового типа:

$1,2 - 0,2 = 1,0$ кг.

Проверим полученные результаты:

Количество деталей старого типа: $\frac{24}{1,2} = 20$ штук.

Количество деталей нового типа: $\frac{22}{1,0} = 22$ штуки.

Разница в количестве составляет $22 - 20 = 2$ детали, что соответствует условию задачи.

Ответ: масса детали нового типа — 1,0 кг, масса детали старого типа — 1,2 кг.