Номер 466, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

466. Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?

Это задача на совместную работу. Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый (более быстрый) комбайнёр может убрать весь урожай, работая один. По условию задачи, он выполняет эту работу на 24 часа быстрее, чем второй.

Следовательно, время, которое потребуется второму комбайнёру для выполнения той же работы в одиночку, составляет $(x + 24)$ часов.

Производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) первого комбайнёра равна $\frac{1}{x}$.

Производительность второго комбайнёра равна $\frac{1}{x+24}$.

При совместной работе их производительности складываются. Таким образом, их общая производительность составляет:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} $$

Из условия известно, что вместе они заканчивают уборку за 35 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{35}$ всей работы в час. Теперь мы можем составить уравнение:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35} $$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{(x+24) + x}{x(x+24)} = \frac{1}{35} $$

$$ \frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$$ 35(2x+24) = 1(x^2+24x) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 70x + 840 = x^2 + 24x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ x^2 + 24x - 70x - 840 = 0 $$

$$ x^2 - 46x - 840 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476 $$

Найдем корни уравнения, используя формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ \sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74 $$

$$ x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60 $$

$$ x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14 $$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое первому комбайнёру для уборки урожая, составляет $x = 60$ часов.

Время, необходимое второму комбайнёру, составляет:

$$ x + 24 = 60 + 24 = 84 \text{ часа} $$

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 часов, а второму — 84 часа.