Номер 465, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

465. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, гипотенуза $c = 13$ см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$ (1)

По условию, если один из катетов (например, $a$) увеличить на 4 см, то его новая длина составит $(a + 4)$ см. Второй катет $b$ остается без изменений. Новая гипотенуза увеличится на 2 см и станет равна $13 + 2 = 15$ см.

Для нового, измененного, треугольника также применим теорему Пифагора:
$(a + 4)^2 + b^2 = 15^2$
$(a + 4)^2 + b^2 = 225$ (2)

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a^2 + b^2 = 169$
2) $(a + 4)^2 + b^2 = 225$

Выразим $b^2$ из первого уравнения: $b^2 = 169 - a^2$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(a + 4)^2 + (169 - a^2) = 225$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Раскроем скобки:
$a^2 + 8a + 16 + 169 - a^2 = 225$

Упростим уравнение, сократив $a^2$ и $-a^2$:
$8a + 185 = 225$

Найдем $8a$:
$8a = 225 - 185$
$8a = 40$

Отсюда находим катет $a$:
$a = \frac{40}{8} = 5$ см.

Теперь найдем второй катет $b$, подставив значение $a=5$ в первое уравнение $a^2 + b^2 = 169$:
$5^2 + b^2 = 169$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем положительный квадратный корень:
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Следовательно, катеты исходного треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.