Номер 458, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

458. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, большая сторона на 14 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 14)$ см.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$). Составим уравнение на основе данных задачи, где катеты — это стороны $x$ и $(x+14)$, а гипотенуза — диагональ, равная 26 см:

$x^2 + (x + 14)^2 = 26^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2) = 676$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676$

$2x^2 + 28x + 196 - 676 = 0$

$2x^2 + 28x - 480 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить вычисления:

$x^2 + 14x - 240 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем значения $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-14 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -24$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна 10 см.

Найдем длину большей стороны, прибавив 14 см:

$10 + 14 = 24$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см.