Номер 463, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

463. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна $122 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна $30 \text{ см}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{прям} = a \cdot b$. По условию, площадь равна 30 см², следовательно, у нас есть первое уравнение:
$a \cdot b = 30$

На каждой из четырех сторон прямоугольника построен квадрат. У прямоугольника две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$. Соответственно, будут построены два квадрата со стороной $a$ и два квадрата со стороной $b$.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. Площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$.
Сумма площадей всех четырех квадратов равна $S_{сумм} = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$.
По условию, эта сумма равна 122 см², что дает нам второе уравнение:
$2a^2 + 2b^2 = 122$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a^2 + b^2 = 61$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a \cdot b = 30$
2) $a^2 + b^2 = 61$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$.
Подставим известные нам значения из системы уравнений:
$(a+b)^2 = 61 + 2 \cdot 30 = 61 + 60 = 121$
Отсюда, $a+b = \sqrt{121} = 11$ (так как длины сторон не могут быть отрицательными, их сумма тоже положительна).

Теперь мы имеем новую, более простую систему:
1) $a + b = 11$
2) $a \cdot b = 30$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Решим это уравнение, найдя его корни. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$t_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

Проверим решение:
Площадь прямоугольника: $5 \cdot 6 = 30$ см² (верно).
Сумма площадей квадратов: $2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 36 = 50 + 72 = 122$ см² (верно).

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.