Номер 459, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

459. Прямоугольный участок земли площадью $2400\,m^2$ обнесён изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Пусть длина прямоугольного участка равна $a$ метров, а ширина – $b$ метров.

Площадь участка ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Длина изгороди – это периметр прямоугольника ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$a \cdot b = 2400$

$2(a + b) = 200$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 100$

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} a + b = 100 \\ a \cdot b = 2400 \end{cases}$

Это классический случай, который можно решить с помощью теоремы Виета для квадратного уравнения. Длина $a$ и ширина $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим известные значения:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни по теореме Виета, подобрав два числа, сумма которых равна 100, а произведение — 2400. Этими числами являются 60 и 40, так как $60 + 40 = 100$ и $60 \cdot 40 = 2400$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

$x_1 = \frac{-(-100) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-100) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

Таким образом, стороны прямоугольного участка равны 60 м и 40 м. Обычно длиной называют большую сторону, а шириной – меньшую.

Ответ: длина участка 60 м, ширина 40 м.