Номер 461, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

461. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?

Пусть скорость первого отряда (направлявшегося на север) равна $v_1$ км/ч, а скорость второго отряда (направлявшегося на восток) — $v_2$ км/ч. Время движения обоих отрядов составляет $t = 4$ часа.

За 4 часа первый отряд прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 4v_1$ км.

Второй отряд за то же время прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = 4v_2$ км.

По условию задачи, первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. Составим первое уравнение:

$S_1 = S_2 + 4,8$

Подставим выражения для расстояний через скорости:

$4v_1 = 4v_2 + 4,8$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы выразить одну скорость через другую:

$v_1 = v_2 + 1,2$

Поскольку один отряд двигался на север, а другой — на восток, их пути перпендикулярны. Таким образом, начальная точка и положения отрядов через 4 часа образуют прямоугольный треугольник. Расстояния, пройденные отрядами ($S_1$ и $S_2$), являются катетами этого треугольника, а расстояние между отрядами (24 км) — его гипотенузой.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$S_1^2 + S_2^2 = 24^2$

Подставим выражения для расстояний:

$(4v_1)^2 + (4v_2)^2 = 576$

$16v_1^2 + 16v_2^2 = 576$

Разделим обе части уравнения на 16:

$v_1^2 + v_2^2 = 36$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $v_1 = v_2 + 1,2$

2) $v_1^2 + v_2^2 = 36$

Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:

$(v_2 + 1,2)^2 + v_2^2 = 36$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$v_2^2 + 2 \cdot 1,2 \cdot v_2 + 1,2^2 + v_2^2 = 36$

$v_2^2 + 2,4v_2 + 1,44 + v_2^2 = 36$

$2v_2^2 + 2,4v_2 - 34,56 = 0$

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

$v_2^2 + 1,2v_2 - 17,28 = 0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (1,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17,28) = 1,44 + 69,12 = 70,56$

$\sqrt{D} = \sqrt{70,56} = 8,4$

$v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1,2 \pm 8,4}{2}$

Один корень: $v_{2,1} = \frac{-1,2 + 8,4}{2} = \frac{7,2}{2} = 3,6$

Второй корень: $v_{2,2} = \frac{-1,2 - 8,4}{2} = \frac{-9,6}{2} = -4,8$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем значение $v_2 = 3,6$ км/ч. Это скорость второго отряда.

Теперь найдем скорость первого отряда:

$v_1 = v_2 + 1,2 = 3,6 + 1,2 = 4,8$ км/ч.

Ответ: Скорость первого отряда, шедшего на север, равна 4,8 км/ч, а скорость второго отряда, шедшего на восток, — 3,6 км/ч.