Номер 455, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

455. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть одно искомое число будет $x$, а второе — $y$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

$x + y = 12$

$x \cdot y = 35$

Эту систему можно решить методом подстановки. Для этого выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 12 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x \cdot (12 - x) = 35$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$12x - x^2 = 35$

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Полученное квадратное уравнение можно решить двумя способами: с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

1. Решение по теореме Виета.
Согласно обратной теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть, нам нужно найти два числа, сумма которых равна 12, а произведение — 35. Путем подбора находим, что эти числа — 5 и 7, так как:

$5 + 7 = 12$

$5 \cdot 7 = 35$

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

2. Решение через дискриминант.
Для уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-12$, $c=35$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Оба способа дают нам два возможных значения для $x$: 5 и 7. Теперь найдем соответствующие значения для $y$, используя ранее выведенную формулу $y = 12 - x$.

Если $x = 5$, то $y = 12 - 5 = 7$.

Если $x = 7$, то $y = 12 - 7 = 5$.

Таким образом, в любом случае искомые числа — это 5 и 7.

Выполним проверку: сумма чисел $5+7=12$, произведение чисел $5 \cdot 7=35$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 5 и 7.