Номер 451, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

451. Окружность $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$ и прямая $y = kx$ имеют общую точку $M(1; 2)$. Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.

Даны уравнение окружности $(x-4)^2 + (y-6)^2 = 25$ и уравнение прямой $y=kx$. Известно, что они имеют общую точку $M(1; 2)$.

Сначала найдем значение коэффициента $k$. Поскольку точка $M(1; 2)$ принадлежит прямой $y=kx$, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение:
$2 = k \cdot 1$
Отсюда получаем $k=2$. Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y=2x$.

Теперь найдем координаты всех точек пересечения окружности и прямой, решив систему уравнений. Для этого подставим выражение $y=2x$ в уравнение окружности:
$(x-4)^2 + (2x-6)^2 = 25$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 8x + 16) + (4x^2 - 24x + 36) = 25$
$5x^2 - 32x + 52 = 25$
$5x^2 - 32x + 27 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения. Нам уже известно, что одна из точек пересечения имеет абсциссу $x_1=1$ (из координат точки $M$). Чтобы найти вторую абсциссу $x_2$, воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем случае $a=5, c=27$:
$1 \cdot x_2 = \frac{27}{5}$
$x_2 = \frac{27}{5}$

Теперь найдем ординату второй точки пересечения, подставив $x_2$ в уравнение прямой $y=2x$:
$y_2 = 2 \cdot \frac{27}{5} = \frac{54}{5}$

Следовательно, координаты другой общей точки: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$.

Ответ: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$