Номер 445, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

445. Докажите, что прямая $x - y = 4$ имеет одну общую точку с параболой $y=x^2 - 5x + 5$, и найдите координаты этой общей точки.

Чтобы определить количество общих точек прямой и параболы, необходимо приравнять их уравнения. Для этого составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ y = x^2 - 5x + 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x - 4$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x - 4 = x^2 - 5x + 5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x - x + 5 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения соответствует количеству общих точек прямой и параболы. Чтобы найти количество решений, вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), это означает, что квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Следовательно, прямая и парабола имеют одну общую точку. Это доказывает первое утверждение задачи.

Теперь найдем координаты этой точки. Для этого решим уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$. Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Мы нашли абсциссу общей точки. Чтобы найти ординату, подставим значение $x=3$ в уравнение прямой $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, координаты общей точки — (3; -1).

Ответ: Уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$, полученное при решении системы, имеет один корень, так как его дискриминант равен нулю, что доказывает наличие только одной общей точки. Координаты этой общей точки: (3; -1).