Номер 441, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

441. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое, нелинейное, уравнение системы:

$(1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11$

Раскроем скобки и выполним преобразования:

$(1 + 4y + 4y^2) + (y + 2y^2) - y^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$(4y^2 + 2y^2 - y^2) + (4y + y) + 1 = 11$

$5y^2 + 5y + 1 = 11$

Перенесем 11 в левую часть уравнения:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$y^2 + y - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя формулу $x = 1 + 2y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, первое решение системы — это пара чисел $(3, 1)$.

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = 1 + 2 \cdot (-2) = 1 - 4 = -3$

Второе решение системы — это пара чисел $(-3, -2)$.

Выполним проверку для обоих решений.

Для $(3, 1)$:

$3^2 + 3 \cdot 1 - 1^2 = 9 + 3 - 1 = 11$ (верно)

$3 - 2 \cdot 1 = 1$ (верно)

Для $(-3, -2)$:

$(-3)^2 + (-3)(-2) - (-2)^2 = 9 + 6 - 4 = 11$ (верно)

$(-3) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (верно)

Оба решения верны.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1. \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$2y = -1 - 3x$

$y = \frac{-1 - 3x}{2}$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + x \left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - 3 \left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) = 9$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + x(-1 - 3x) - 3(-1 - 3x) = 18$

Раскроем скобки:

$2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-x + 9x) + 3 = 18$

$-x^2 + 8x + 3 = 18$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 + 8x - 15 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а произведение равно $15$. Корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 5$

Теперь для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = \frac{-1 - 3x}{2}$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = \frac{-1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Первое решение: $(3, -5)$.

2. При $x_2 = 5$:

$y_2 = \frac{-1 - 3 \cdot 5}{2} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Второе решение: $(5, -8)$.

Проверим найденные решения.

Для $(3, -5)$:

$3^2 + 3(-5) - 3(-5) = 9 - 15 + 15 = 9$ (верно)

$3(3) + 2(-5) = 9 - 10 = -1$ (верно)

Для $(5, -8)$:

$5^2 + 5(-8) - 3(-8) = 25 - 40 + 24 = 9$ (верно)

$3(5) + 2(-8) = 15 - 16 = -1$ (верно)

Оба решения верны.

Ответ: $(3, -5)$, $(5, -8)$.