Номер 435, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

435. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 2x + 4y = 5(x - y), \\ x^2 - y^2 = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u - v = 6(u + v), \\ u^2 - v^2 = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 4y = 5(x - y) \\x^2 - y^2 = 6\end{cases}$$

Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав переменные:

$2x + 4y = 5x - 5y$

$4y + 5y = 5x - 2x$

$9y = 3x$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$x^2 - y^2 = 6$

$(3y)^2 - y^2 = 6$

$9y^2 - y^2 = 6$

$8y^2 = 6$

$y^2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = 3y$.

1. При $y_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Первое решение: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2. При $y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $x_2 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Второе решение: $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u - v = 6(u + v) \\u^2 - v^2 = 6\end{cases}$$

Второе уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать как:

$(u - v)(u + v) = 6$

Теперь подставим выражение для $(u - v)$ из первого уравнения, $u - v = 6(u + v)$, в преобразованное второе уравнение:

$[6(u + v)](u + v) = 6$

$6(u + v)^2 = 6$

Разделим обе части на 6:

$(u + v)^2 = 1$

Это уравнение дает два возможных случая.

Случай 1: $u + v = 1$.

Подставим это значение в первое уравнение исходной системы $u - v = 6(u + v)$:

$u - v = 6(1) \implies u - v = 6$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}u + v = 1 \\u - v = 6\end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем: $2u = 7$, откуда $u = \frac{7}{2}$.

Подставляя $u$ в первое уравнение, находим $v$: $\frac{7}{2} + v = 1 \implies v = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Первое решение: $(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.

Случай 2: $u + v = -1$.

Аналогично подставляем это значение в первое уравнение исходной системы:

$u - v = 6(-1) \implies u - v = -6$.

Решаем новую систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}u + v = -1 \\u - v = -6\end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем: $2u = -7$, откуда $u = -\frac{7}{2}$.

Подставляя $u$ в первое уравнение, находим $v$: $-\frac{7}{2} + v = -1 \implies v = -1 + \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.

Второе решение: $(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}), (-\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.