Номер 452, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

452. Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

a) $$\begin{cases} y = x^3, \\ y = 15x; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} xy = 10, \\ y = x; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y = x^2 + 3. \end{cases}$$

а) Чтобы определить количество решений системы, построим графики уравнений $y = x^3$ и $y = 15x$ и найдем количество точек их пересечения.
1. График уравнения $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно начала координат.
2. График уравнения $y = 15x$ — это прямая, также проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом 15.
Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$x^3 = 15x$
$x^3 - 15x = 0$
$x(x^2 - 15) = 0$
Это уравнение имеет три корня:
$x_1 = 0$
$x^2 = 15$, откуда $x_2 = \sqrt{15}$ и $x_3 = -\sqrt{15}$.
Так как мы получили три различных значения $x$, графики пересекаются в трех точках. Следовательно, система имеет три решения.
Ответ: 3 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений $xy = 10$ и $y = x$.
1. График уравнения $xy = 10$, или $y = \frac{10}{x}$, — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
2. График уравнения $y = x$ — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат.
Прямая $y = x$ проходит через те же квадранты, что и ветви гиперболы, поэтому она пересечет каждую ветвь по одному разу. Чтобы убедиться в этом, решим систему аналитически. Подставим $y = x$ в первое уравнение:
$x \cdot x = 10$
$x^2 = 10$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{10}$ и $x_2 = -\sqrt{10}$.
Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 решения.

в) Рассмотрим систему уравнений $x^2 + y^2 = 36$ и $y = x^2 + 3$.
1. График уравнения $x^2 + y^2 = 36$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.
2. График уравнения $y = x^2 + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 3)$.
Вершина параболы $(0, 3)$ находится внутри окружности, так как расстояние от вершины до центра окружности (3) меньше радиуса (6). Поскольку ветви параболы направлены вверх, они будут пересекать окружность. Найдем точки пересечения, решив систему.
Из второго уравнения выразим $x^2 = y - 3$ и подставим в первое уравнение:
$(y - 3) + y^2 = 36$
$y^2 + y - 39 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 1 + 156 = 157$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня для $y$: $y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{157}}{2}$.
Из уравнения параболы $y = x^2 + 3$ следует, что $y \ge 3$ (поскольку $x^2 \ge 0$).
Проверим найденные корни:
1) $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{157}}{2}$. Так как $12 < \sqrt{157} < 13$, то $y_1 \approx \frac{-1 + 12.5}{2} = 5.75$. Это значение больше 3, значит, оно допустимо. Для этого значения $y$ мы получим два значения $x$ ($x = \pm\sqrt{y_1-3}$).
2) $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{157}}{2}$. Это значение отрицательное, следовательно, меньше 3. Оно не удовлетворяет условию $y \ge 3$, поэтому является посторонним корнем.
Таким образом, существует только одно подходящее значение $y$, которое дает две точки пересечения (симметричные относительно оси OY).
Ответ: 2 решения.