Номер 449, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

449. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

а) окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$;

б) окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$;

в) окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$.

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ y = x^2 + 6 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y - 6$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y - 6) + y^2 = 36$

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

$y_1 = \frac{-1 - 13}{2} = -7$

$y_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$.

1. Если $y = -7$, то $x^2 = -7 - 6 = -13$. У этого уравнения нет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

2. Если $y = 6$, то $x^2 = 6 - 6 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, существует только одна точка пересечения.

Ответ: $(0, 6)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения двух окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 16 - x^2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 4x + 4 + 16 - x^2 = 36$

$-4x + 20 = 36$

$-4x = 16$

$x = -4$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -4$ в первое уравнение:

$(-4)^2 + y^2 = 16$

$16 + y^2 = 16$

$y^2 = 0$

$y = 0$

Таким образом, окружности пересекаются в одной точке (касаются).

Ответ: $(-4, 0)$.

в)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 4x - y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4x)^2 = 25$

$x^2 + 16x^2 = 25$

$17x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{17}$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{25}{17}} = \frac{5}{\sqrt{17}} = \frac{5\sqrt{17}}{17}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{25}{17}} = -\frac{5}{\sqrt{17}} = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, используя $y = 4x$.

1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{17}}{17}$, то $y_1 = 4 \cdot \frac{5\sqrt{17}}{17} = \frac{20\sqrt{17}}{17}$.

2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$, то $y_2 = 4 \cdot \left(-\frac{5\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{20\sqrt{17}}{17}$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$ и $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.