Номер 470, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

470. Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на $1 \text{ дм}^2$, то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.

Пусть $S$ - первоначальная площадь опоры в квадратных дециметрах (дм²). По условию, масса груза равна 30 кг.

Масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, в начальный момент времени составляет:

$p_1 = \frac{30}{S}$ кг/дм²

Согласно условию задачи, массу груза уменьшили на 2 кг, а площадь опоры уменьшили на 1 дм². Новые значения массы и площади будут:

$m_2 = 30 - 2 = 28$ кг

$S_2 = S - 1$ дм²

Новая масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, стала:

$p_2 = \frac{m_2}{S_2} = \frac{28}{S - 1}$ кг/дм²

Известно, что эта новая величина на 1 кг больше первоначальной:

$p_2 = p_1 + 1$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в это уравнение:

$\frac{28}{S - 1} = \frac{30}{S} + 1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{28}{S - 1} = \frac{30 + S}{S}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $S \neq 0$ и $S \neq 1$:

$28S = (S - 1)(30 + S)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$28S = 30S + S^2 - 30 - S$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$28S = S^2 + 29S - 30$

$S^2 + 29S - 28S - 30 = 0$

$S^2 + S - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни. Сумма корней должна быть -1, а их произведение -30. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -6.

$S_1 = 5$

$S_2 = -6$

Так как площадь опоры не может быть отрицательной величиной, корень $S_2 = -6$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $S_1 = 5$.

Проверим найденное решение:
Первоначальная масса на единицу площади: $p_1 = \frac{30}{5} = 6$ кг/дм².
Новая масса на единицу площади: $p_2 = \frac{28}{5 - 1} = \frac{28}{4} = 7$ кг/дм².
Разница составляет $7 - 6 = 1$ кг/дм², что соответствует условию задачи.

Ответ: 5 дм².