Номер 480, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

480. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

а) параболы $y = x^2 - 3x + 3$ и прямой $2x - y - 1 = 0$;

б) окружности $x^2 + y^2 = 100$ и прямой $x + y = 14$.

а) Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = x^2 - 3x + 3$ и прямой $2x - y - 1 = 0$, необходимо решить систему этих уравнений.

$\begin{cases} y = x^2 - 3x + 3 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 2x - 1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$2x - 1 = x^2 - 3x + 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 2x + 3 + 1 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = 2x - 1$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

При $x_2 = 4$: $y_2 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.

Таким образом, координаты точек пересечения: $(1, 1)$ и $(4, 7)$.

Ответ: $(1, 1), (4, 7)$.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 100$ и прямой $x + y = 14$, необходимо решить систему этих уравнений.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x + y = 14 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 14 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (14 - x)^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$

$2x^2 - 28x + 196 - 100 = 0$

$2x^2 - 28x + 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 14x + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 6, \quad x_2 = 8$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = 14 - x$:

При $x_1 = 6$: $y_1 = 14 - 6 = 8$.

При $x_2 = 8$: $y_2 = 14 - 8 = 6$.

Таким образом, координаты точек пересечения: $(6, 8)$ и $(8, 6)$.

Ответ: $(6, 8), (8, 6)$.