Номер 488, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

488. (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $xy < 4$; б) $xy > -6$.

1) Разберите совместно пример 3, приведённый в пункте 21.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания и исправьте ошибки, если они допущены.

а) $xy < 4$

Чтобы изобразить множество решений неравенства $xy < 4$ на координатной плоскости, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала рассмотрим уравнение, соответствующее границе области: $xy = 4$. Это уравнение можно представить в виде функции обратной пропорциональности $y = \frac{4}{x}$.

2. Графиком этой функции является гипербола. Так как произведение $xy$ положительно, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

3. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой гиперболе, не входят в множество решений. Поэтому границу области — гиперболу $y = \frac{4}{x}$ — следует изобразить пунктирной линией.

4. Гипербола делит всю координатную плоскость на три области. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем пробную точку, не лежащую на линии графика. Самый удобный выбор — начало координат, точка $(0, 0)$.

5. Подставим координаты точки $(0, 0)$ в исходное неравенство $xy < 4$:
$0 \cdot 0 < 4$
$0 < 4$
Полученное неравенство является верным. Это означает, что область, содержащая точку $(0, 0)$, является множеством решений.

6. Таким образом, решением неравенства является область, расположенная между двумя ветвями гиперболы.

На рисунке ниже показана граница $y = \frac{4}{x}$ (синяя пунктирная линия) и пробная точка $(0, 0)$ (красная точка). Решением является заштрихованная область.

Ответ: Множество решений — это все точки координатной плоскости, расположенные между ветвями гиперболы $y = \frac{4}{x}$. Граница множества не включается.

б) $xy > -6$

Решение этого неравенства строится по аналогии с предыдущим.

1. Рассмотрим граничное уравнение $xy = -6$. Эквивалентная форма: $y = -\frac{6}{x}$.

2. Графиком этой функции также является гипербола. Поскольку произведение $xy$ отрицательно, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

3. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница области — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ — изображается пунктирной линией.

4. Для определения области решения снова воспользуемся пробной точкой $(0, 0)$, так как она не лежит на графике.

5. Подставим ее координаты в неравенство $xy > -6$:
$0 \cdot 0 > -6$
$0 > -6$
Это неравенство верное.

6. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(0, 0)$. Это область, которая находится между ветвями гиперболы.

На рисунке показана граница $y = -\frac{6}{x}$ (синяя пунктирная линия) и пробная точка $(0, 0)$ (красная точка). Решением является заштрихованная область.

Ответ: Множество решений — это область координатной плоскости, заключенная между ветвями гиперболы $y = -\frac{6}{x}$. Граница множества не включается.