Страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

404. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, зная, что она проходит через точку:

а) $A(-2; \sqrt{5})$; б) $B(3; 4)$; в) $C(8; 0)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Следовательно, уравнение окружности для данной задачи принимает вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой точки на окружности. Так как окружность проходит через заданную точку с координатами $(x_p; y_p)$, то квадрат радиуса $R^2$ можно найти, подставив эти координаты в уравнение: $R^2 = x_p^2 + y_p^2$.

а) Окружность проходит через точку $A(-2; \sqrt{5})$. Найдем квадрат радиуса, подставив координаты этой точки в формулу:
$R^2 = (-2)^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.
Искомое уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 9$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 9$.

б) Окружность проходит через точку $B(3; 4)$. Найдем квадрат радиуса, подставив координаты этой точки в формулу:
$R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Искомое уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$.

в) Окружность проходит через точку $C(8; 0)$. Найдем квадрат радиуса, подставив координаты этой точки в формулу:
$R^2 = 8^2 + 0^2 = 64 + 0 = 64$.
Искомое уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 64$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 64$.

405. Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке $K(2; -5)$ и она проходит через точку:

a) $A(-1; -1)$;

б) $B(-3; 7)$;

в) $C(1; -4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
По условию задачи, центр окружности находится в точке $K(2; -5)$, следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = -5$.
Подставив координаты центра в общее уравнение, получаем:
$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R^2$
$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R^2$
Чтобы найти уравнение окружности, нам осталось определить её радиус $R$. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Квадрат радиуса $R^2$ равен квадрату расстояния между центром $K$ и точкой, через которую проходит окружность.

а) Окружность проходит через точку $A(-1; -1)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $A(-1; -1)$:
$R^2 = (-1 - 2)^2 + (-1 - (-5))^2 = (-3)^2 + (-1 + 5)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

б) Окружность проходит через точку $B(-3; 7)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $B(-3; 7)$:
$R^2 = (-3 - 2)^2 + (7 - (-5))^2 = (-5)^2 + (7 + 5)^2 = (-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$

в) Окружность проходит через точку $C(1; -4)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $C(1; -4)$:
$R^2 = (1 - 2)^2 + (-4 - (-5))^2 = (-1)^2 + (-4 + 5)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$

406. Докажите, что графиком уравнения $x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$ является окружность.

406.

Чтобы доказать, что графиком данного уравнения является окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Начнем с исходного уравнения:

$x^2 + y^2 - 6(x-y) = 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + y^2 - 6x + 6y = 7$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) = 7$

Далее, дополним каждую из скобок до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. Для выражения с $x$: $x^2 - 6x$. Здесь $a=x$, а $-2ab = -6x$, откуда $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $b^2 = 3^2 = 9$. Получаем $(x^2 - 6x + 9) = (x-3)^2$.

2. Для выражения с $y$: $y^2 + 6y$. Здесь $a=y$, а $2ab = 6y$, откуда $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $b^2 = 3^2 = 9$. Получаем $(y^2 + 6y + 9) = (y+3)^2$.

Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить эти же числа (9 и 9) к правой части уравнения:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

Теперь свернем левую часть по формулам полного квадрата и посчитаем сумму в правой части:

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Представим правую часть в виде квадрата радиуса:

$(x - 3)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения окружности. Из него видно, что это окружность с центром в точке $(3; -3)$ и радиусом $R = 5$.

Поскольку исходное уравнение удалось преобразовать к каноническому виду уравнения окружности, его графиком действительно является окружность.

Ответ: Исходное уравнение $x^2 + y^2 - 6(x-y) = 7$ приводится к виду $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$, что является уравнением окружности с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $5$. Таким образом, доказано, что график данного уравнения является окружностью.

407. Что является графиком уравнения $\frac{(2x + y)^2}{4} - (x - 0,5y)^2 = 24?$

Выберите верный ответ.

1. Окружность

2. Парабола

3. Гипербола

4. Пара прямых

Решение:

Для того чтобы определить, что является графиком данного уравнения, необходимо его упростить.

Исходное уравнение:$ \frac{(2x + y)^2}{4} - (x - 0,5y)^2 = 24 $

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$. Представим уравнение в этом виде:$ \left(\frac{2x + y}{2}\right)^2 - (x - 0,5y)^2 = 24 $

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \frac{2x + y}{2}$ и $b = x - 0,5y$:$ \left(\frac{2x + y}{2} - (x - 0,5y)\right) \left(\frac{2x + y}{2} + (x - 0,5y)\right) = 24 $

Упростим выражения в каждой скобке.

Первая скобка:$ \frac{2x + y}{2} - x + 0,5y = x + 0,5y - x + 0,5y = y $

Вторая скобка:$ \frac{2x + y}{2} + x - 0,5y = x + 0,5y + x - 0,5y = 2x $

Подставив упрощенные выражения обратно в уравнение, получаем:$ (y)(2x) = 24 $

Отсюда:$ 2xy = 24 $$ xy = 12 $

Уравнение вида $xy = k$ (где $k \neq 0$) является уравнением гиперболы, асимптотами которой служат оси координат.

Таким образом, график данного уравнения — это гипербола.

Ответ: 3. Гипербола.

408. При каких значениях m графиком уравнения

$(x - 4)^2 + (y + m)^2 = 15$

является окружность, центр которой расположен в четвёртой координатной четверти?

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

В заданном уравнении $(x - 4)^2 + (y + m)^2 = 15$ мы можем определить координаты центра окружности, сравнив его с общим видом.

Координата центра по оси абсцисс (x) равна $x_0 = 4$.

Координата центра по оси ординат (y) определяется из выражения $(y + m)^2$, которое можно переписать как $(y - (-m))^2$. Следовательно, $y_0 = -m$.

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(4, -m)$.

Четвёртая координатная четверть — это область, где абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна. Для центра нашей окружности должны выполняться следующие условия:

1. $x_0 > 0$

2. $y_0 < 0$

Подставим найденные значения координат центра в эти неравенства:

1. $4 > 0$. Это условие всегда выполняется.

2. $-m < 0$.

Теперь решим неравенство $-m < 0$. Для этого умножим обе его части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$m > 0$

Итак, для того чтобы центр окружности находился в четвёртой координатной четверти, значение параметра $m$ должно быть больше нуля.

Ответ: $m > 0$.

409. При каких значениях $r$ окружность $(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = r^2$:

а) касается оси $x$;

б) касается оси $y$?

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ — это центр окружности, а $R$ — её радиус.

В задаче дана окружность с уравнением $(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = r^2$. Из этого уравнения мы можем определить, что центр окружности находится в точке с координатами $C(5, 7)$, а её радиус равен $R = r$. Поскольку радиус является геометрической величиной, он должен быть положительным, поэтому мы рассматриваем $r > 0$.

а) касается оси x

Окружность касается оси x (уравнение которой $y=0$), если расстояние от центра окружности до этой оси равно радиусу. Расстояние от центра $C(a, b)$ до оси x равно модулю его y-координаты, то есть $|b|$. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(5, 7)$, поэтому расстояние до оси x равно $|7| = 7$. Следовательно, для касания оси x радиус окружности $r$ должен быть равен этому расстоянию.

$r = 7$.

Ответ: $r=7$.

б) касается оси y

Окружность касается оси y (уравнение которой $x=0$), если расстояние от центра окружности до этой оси равно радиусу. Расстояние от центра $C(a, b)$ до оси y равно модулю его x-координаты, то есть $|a|$. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(5, 7)$, поэтому расстояние до оси y равно $|5| = 5$. Следовательно, для касания оси y радиус окружности $r$ должен быть равен этому расстоянию.

$r = 5$.

Ответ: $r=5$.

410. Составьте уравнение окружности с центром в точке (3; 8),

зная, что она касается:

а) оси $x$;

б) оси $y$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. По условию задачи, центр окружности находится в точке $(3; 8)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$. Уравнение окружности принимает вид: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = R^2$. Для составления полного уравнения необходимо определить радиус $R$ для каждого из случаев.

а) оси x; Если окружность касается оси x (оси абсцисс), то ее радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до этой оси. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси x равно модулю ее ординаты $|y_0|$. В нашем случае центр находится в точке $(3; 8)$, поэтому радиус равен $R = |8| = 8$. Подставим значение радиуса в уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 8^2$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 64$.

б) оси y. Если окружность касается оси y (оси ординат), то ее радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до этой оси. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси y равно модулю ее абсциссы $|x_0|$. В нашем случае центр находится в точке $(3; 8)$, поэтому радиус равен $R = |3| = 3$. Подставим значение радиуса в уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 3^2$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 9$.

411. Найдите все целые решения уравнения:

а) $xy = 2$;

б) $x^2 - y^2 = 3$.

а) $xy = 2$

Требуется найти все целые решения уравнения, то есть все пары целых чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 2. Это означает, что числа $x$ и $y$ должны быть целыми делителями числа 2.

Целыми делителями числа 2 являются: $1, -1, 2, -2$. Рассмотрим все возможные комбинации:

1. Если $x = 1$, то из уравнения $1 \cdot y = 2$ следует, что $y = 2$. Получаем пару $(1, 2)$.

2. Если $x = 2$, то из уравнения $2 \cdot y = 2$ следует, что $y = 1$. Получаем пару $(2, 1)$.

3. Если $x = -1$, то из уравнения $(-1) \cdot y = 2$ следует, что $y = -2$. Получаем пару $(-1, -2)$.

4. Если $x = -2$, то из уравнения $(-2) \cdot y = 2$ следует, что $y = -1$. Получаем пару $(-2, -1)$.

Других целых делителей у числа 2 нет, поэтому других целых решений у уравнения не существует.

Ответ: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) $x^2 - y^2 = 3$

Для решения этого уравнения в целых числах воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применив ее к левой части уравнения, получим: $(x-y)(x+y) = 3$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, следовательно, они представляют собой пару целых делителей числа 3.

Парами целых делителей числа 3 являются $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$. Рассмотрим каждую из этих пар как систему уравнений:

1. $\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 3 \end{cases}$. Сложим оба уравнения системы: $(x-y) + (x+y) = 1+3$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2+y=3$, откуда $y=1$. Решение: $(2, 1)$.

2. $\begin{cases} x-y = 3 \\ x+y = 1 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2+y=1$, откуда $y=-1$. Решение: $(2, -1)$.

3. $\begin{cases} x-y = -1 \\ x+y = -3 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -1+(-3)$, что дает $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2+y=-3$, откуда $y=-1$. Решение: $(-2, -1)$.

4. $\begin{cases} x-y = -3 \\ x+y = -1 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -3+(-1)$, что дает $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2+y=-1$, откуда $y=1$. Решение: $(-2, 1)$.

Мы рассмотрели все возможные случаи и нашли все целочисленные решения.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, -1), (-2, 1)$.

412. Решите неравенство:

а) $25x^2 + 6x \le 0;$

б) $x^2 - 169 > 0;$

в) $4x^2 - 225 \le 0;$

г) $y^2 < 10y + 24;$

д) $15y^2 + 30 > 22y + 7;$

е) $3y^2 - 7 \le 26y + 70.$

а) $25x^2 + 6x \le 0$
Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 + 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(25x + 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $25x + 6 = 0 \implies x_2 = -6/25 = -0.24$.
Графиком функции $y = 25x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=25>0$).
Следовательно, функция принимает неположительные значения ($ \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-0.24; 0]$.

б) $x^2 - 169 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 169 = 0$.
$x^2 = 169$, откуда $x_1 = -13$ и $x_2 = 13$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Значения функции будут положительными ($ > 0$) вне промежутка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -13) \cup (13; +\infty)$.

в) $4x^2 - 225 \le 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 225 = 0$.
$4x^2 = 225 \implies x^2 = 225/4$, откуда $x_1 = -\sqrt{225/4} = -15/2 = -7.5$ и $x_2 = 15/2 = 7.5$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - 225$ направлены вверх ($a=4>0$), поэтому неположительные значения ($ \le 0$) находятся на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-7.5; 7.5]$.

г) $y^2 < 10y + 24$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства: $y^2 - 10y - 24 < 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 10y - 24 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
$y_1 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2$.
$y_2 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$.
Ветви параболы $y = y^2 - 10y - 24$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции будут отрицательными ($ < 0$) на интервале между корнями.
Ответ: $y \in (-2; 12)$.

д) $15y^2 + 30 > 22y + 7$
Приведем неравенство к стандартному виду: $15y^2 - 22y + 30 - 7 > 0$, то есть $15y^2 - 22y + 23 > 0$.
Рассмотрим соответствующее уравнение $15y^2 - 22y + 23 = 0$ и найдем его дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 23 = 484 - 1380 = -896$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $y^2$ положителен ($a=15>0$), значит, парабола полностью расположена выше оси абсцисс.
Следовательно, выражение $15y^2 - 22y + 23$ всегда положительно при любом значении $y$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

е) $3y^2 - 7 \le 26y + 70$
Приведем неравенство к стандартному виду: $3y^2 - 26y - 7 - 70 \le 0$, то есть $3y^2 - 26y - 77 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3y^2 - 26y - 77 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-77) = 676 + 924 = 1600$.
$y_1 = \frac{26 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{26 - 40}{6} = \frac{-14}{6} = -7/3$.
$y_2 = \frac{26 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{26 + 40}{6} = \frac{66}{6} = 11$.
Ветви параболы $y = 3y^2 - 26y - 77$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому неположительные значения ($ \le 0$) находятся на отрезке между корнями.
Ответ: $y \in [-7/3; 11]$.

413. Решите систему уравнений способом подстановки:

a) $ \begin{cases} 11x - 9y = 37, \\ x = 1 + 2y; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 16x - 4y = 5, \\ 3x - y = 2. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 11x - 9y = 37 \\ x = 1 + 2y \end{cases} $$ Для решения системы методом подстановки, подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое.
Второе уравнение уже представляет $x$ через $y$: $x = 1 + 2y$.
Подставляем это выражение в первое уравнение: $11(1 + 2y) - 9y = 37$
Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:
$11 + 22y - 9y = 37$ (раскрываем скобки)
$11 + 13y = 37$ (приводим подобные слагаемые)
$13y = 37 - 11$ (переносим 11 в правую часть с противоположным знаком)
$13y = 26$
$y = \frac{26}{13}$
$y = 2$
Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его обратно в выражение для $x$:
$x = 1 + 2y = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 16x - 4y = 5 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $$ Для решения этой системы методом подстановки, сначала выразим одну из переменных. Удобнее всего выразить $y$ из второго уравнения.
Из уравнения $3x - y = 2$ получаем:
$y = 3x - 2$
Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$16x - 4(3x - 2) = 5$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$16x - 12x + 8 = 5$ (раскрываем скобки)
$4x + 8 = 5$ (приводим подобные слагаемые)
$4x = 5 - 8$ (переносим 8 в правую часть с противоположным знаком)
$4x = -3$
$x = -\frac{3}{4}$
Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в выражение для $y$:
$y = 3x - 2 = 3 \cdot (-\frac{3}{4}) - 2 = -\frac{9}{4} - 2$
Приводим к общему знаменателю:
$y = -\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9-8}{4} = -\frac{17}{4}$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$.
Ответ: $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$.

414. Решите систему уравнений способом сложения:

a) $\begin{cases}5x + 2y = 30, \\3x + 4y = -3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - y = 85, \\5x - 2y = 200.\end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 30, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases} $$

Для того чтобы использовать способ сложения, нам нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициент при переменной $y$ стал $-4$.

$$ -2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 30 \\ -10x - 4y = -60 $$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases} $$

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$$ (-10x - 4y) + (3x + 4y) = -60 + (-3) \\ -7x = -63 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{-63}{-7} \\ x = 9 $$

Теперь подставим найденное значение $x = 9$ в любое из исходных уравнений, например, в первое: $5x + 2y = 30$.

$$ 5 \cdot 9 + 2y = 30 \\ 45 + 2y = 30 \\ 2y = 30 - 45 \\ 2y = -15 \\ y = -\frac{15}{2} \\ y = -7.5 $$

Проверим решение, подставив $x = 9$ и $y = -7.5$ во второе исходное уравнение: $3x + 4y = -3$.

$$ 3 \cdot 9 + 4 \cdot (-7.5) = 27 - 30 = -3 $$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(9; -7.5)$

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 85, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Чтобы использовать способ сложения, умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными.

$$ -2 \cdot (2x - y) = -2 \cdot 85 \\ -4x + 2y = -170 $$

Новая система уравнений:

$$ \begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения системы:

$$ (-4x + 2y) + (5x - 2y) = -170 + 200 \\ x = 30 $$

Подставим значение $x = 30$ в первое исходное уравнение: $2x - y = 85$.

$$ 2 \cdot 30 - y = 85 \\ 60 - y = 85 \\ -y = 85 - 60 \\ -y = 25 \\ y = -25 $$

Проверим решение, подставив $x = 30$ и $y = -25$ во второе исходное уравнение: $5x - 2y = 200$.

$$ 5 \cdot 30 - 2 \cdot (-25) = 150 + 50 = 200 $$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(30; -25)$