Страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

377. Докажите, что при любом значении x верно неравенство:

a) $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7);$

б) $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4).$

а) $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7)$

Чтобы доказать это неравенство, преобразуем обе его части. Сначала раскроем скобки.

Левая часть:

$2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$

Правая часть:

$(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 35$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$(2x^2 - x^2) + (-4x + 2x) + (-6 + 35) > 0$

$x^2 - 2x + 29 > 0$

Мы получили квадратный трехчлен. Чтобы доказать, что его значение всегда положительно, выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 29 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 29 = (x - 1)^2 + 28$

Выражение $(x - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении x. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = 1$).

Следовательно, наименьшее значение выражения $(x - 1)^2 + 28$ равно $0 + 28 = 28$.

Так как $28 > 0$, то и выражение $(x-1)^2 + 28$ всегда больше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство верно при любом значении x.

Ответ: Неравенство верно при любом значении x, что и требовалось доказать.

б) $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4)$

Как и в предыдущем пункте, раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть:

$\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) = \frac{1}{4}(x^2 - 7x + 5x - 35) = \frac{1}{4}(x^2 - 2x - 35)$

Правая часть:

$(x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

Подставим выражения в неравенство:

$\frac{1}{4}(x^2 - 2x - 35) \le x^2 - 2x - 8$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби. Знак неравенства при этом не изменится, так как 4 — положительное число.

$x^2 - 2x - 35 \le 4(x^2 - 2x - 8)$

$x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \le (4x^2 - x^2) + (-8x + 2x) + (-32 + 35)$

$0 \le 3x^2 - 6x + 3$

Разделим обе части на 3:

$0 \le x^2 - 2x + 1$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 \le (x - 1)^2$

Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю для любого значения x. Равенство достигается при $x = 1$.

Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 \ge 0$ верно при любом значении x, что и доказывает истинность исходного неравенства.

Ответ: Неравенство верно при любом значении x, что и требовалось доказать.

378. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть строго положительным, поскольку оно находится в знаменателе. Деление на ноль недопустимо, и корень можно извлекать только из неотрицательного числа.

Следовательно, необходимо решить строгое неравенство:

$144 - 9x^2 > 0$

Вынесем 9 за скобки:

$9(16 - x^2) > 0$

Разделим обе части на 9:

$16 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 16$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-4 < x < 4$

Таким образом, область определения функции — это интервал от -4 до 4, не включая концы.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{16 - 24x + 9x^2}{x + 2}}$ находится из системы условий:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{16 - 24x + 9x^2}{x + 2} \ge 0$.

2. Знаменатель дроби под корнем не должен равняться нулю: $x + 2 \ne 0$, откуда $x \ne -2$.

Рассмотрим числитель дроби: $16 - 24x + 9x^2$. Перепишем его в стандартном виде $9x^2 - 24x + 16$. Заметим, что это полный квадрат разности:

$9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 = (3x - 4)^2$

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$\frac{(3x - 4)^2}{x + 2} \ge 0$

Числитель $(3x - 4)^2$ является квадратом выражения и поэтому всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$) при любом значении $x$.

Неравенство обращается в равенство, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю).
$(3x - 4)^2 = 0 \Rightarrow 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$.
При $x = \frac{4}{3}$ знаменатель $x+2 = \frac{4}{3} + 2 \ne 0$. Следовательно, $x = \frac{4}{3}$ является решением.

Неравенство будет строгим (дробь будет строго положительной), когда и числитель, и знаменатель положительны. Так как числитель $(3x - 4)^2$ положителен при всех $x \ne \frac{4}{3}$, то для выполнения неравенства достаточно, чтобы знаменатель был положителен:

$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

Объединяя полученные результаты ($x = \frac{4}{3}$ и $x > -2$), получаем, что областью определения функции является множество всех чисел $x$, больших -2. Точка $x=\frac{4}{3}$ уже входит в этот промежуток.

Ответ: $x \in (-2, \infty)$.

379. При каких значениях $a$ уравнение $(a + 2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ имеет два корня?

Данное уравнение $(a+2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Количество его корней зависит от значения этого параметра.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это условие выполняется, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a+2 \neq 0$, что означает $a \neq -2$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Вычислим дискриминант. Коэффициенты уравнения: $A = a+2$, $B = 8$, $C = a-4$.

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4(a+2)(a-4)$

$D = 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) = 64 - 4(a^2 - 2a - 8)$

$D = 64 - 4a^2 + 8a + 32 = -4a^2 + 8a + 96$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-4a^2 + 8a + 96 > 0$

Разделим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$a^2 - 2a - 24 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 2a - 24 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем:

$a_1 = -4$, $a_2 = 6$.

Парабола $y = a^2 - 2a - 24$ ветвями направлена вверх, поэтому значения меньше нуля она принимает между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-4 < a < 6$.

Совмещая это решение с условием $a \neq -2$, получаем, что для наличия двух корней в этом случае $a$ должно принадлежать объединению интервалов: $(-4, -2) \cup (-2, 6)$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a+2=0$, то есть $a = -2$.

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$(-2+2)x^2 + 8x + (-2) - 4 = 0$

$0 \cdot x^2 + 8x - 6 = 0$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

При $a = -2$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, единственным условием, при котором исходное уравнение имеет два корня, является решение, полученное в первом случае.

Ответ: $a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$.

380. При каких значениях b уравнение $(b - 1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ не имеет корней?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $b$ данное уравнение не имеет корней, необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Первый случай: уравнение является квадратным. Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ отличен от нуля, то есть $b-1 \neq 0$, или $b \neq 1$. Квадратное уравнение вида $ax^2 + kx + c = 0$ не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ меньше нуля ($D<0$).

В уравнении $(b-1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ коэффициенты равны: $a = b-1$, коэффициент при $x$ равен $6$, а свободный член $c = b-3$.

Вычислим дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = 6^2 - 4 \cdot (b-1) \cdot (b-3)$

$D = 36 - 4(b^2 - 3b - b + 3)$

$D = 36 - 4(b^2 - 4b + 3)$

$D = 36 - 4b^2 + 16b - 12$

$D = -4b^2 + 16b + 24$

Условие отсутствия корней — $D < 0$. Решим соответствующее неравенство:

$-4b^2 + 16b + 24 < 0$

Чтобы упростить неравенство, разделим все его члены на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$b^2 - 4b - 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $b^2 - 4b - 6 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения. Дискриминант этого нового уравнения (относительно $b$): $D_b = (-4)^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40$.

Корни уравнения для $b$:

$b_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

Таким образом, мы получили два корня: $b_1 = 2 - \sqrt{10}$ и $b_2 = 2 + \sqrt{10}$.

Графиком функции $y = b^2 - 4b - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (то есть $y > 0$) при $b$, находящихся за пределами интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства $b^2 - 4b - 6 > 0$ есть объединение двух интервалов: $b < 2 - \sqrt{10}$ и $b > 2 + \sqrt{10}$.

Второй случай: уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b-1=0$, откуда $b=1$.

Подставим значение $b=1$ в исходное уравнение:

$(1-1)x^2 + 6x + (1-3) = 0$

$0 \cdot x^2 + 6x - 2 = 0$

$6x - 2 = 0$

Это линейное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Поскольку при $b=1$ уравнение имеет корень, это значение $b$ не удовлетворяет условию задачи.

Итак, объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней только при выполнении условия, найденного в первом случае.

Ответ: $b \in (-\infty; 2 - \sqrt{10}) \cup (2 + \sqrt{10}; +\infty)$.

381. При каких значениях c не имеет корней уравнение:

a) $x^4 - 12x^2 + c = 0$;

б) $x^4 + cx^2 + 100 = 0?$

а) $x^4 - 12x^2 + c = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то должно выполняться условие $y \geq 0$.
После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 12y + c = 0$.

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней для $x$, если полученное квадратное уравнение для $y$:
1. Не имеет действительных корней.
2. Имеет только отрицательные действительные корни (поскольку $y = x^2$ не может быть отрицательным).

Рассмотрим эти два случая.
Случай 1: Квадратное уравнение для $y$ не имеет действительных корней.
Это происходит, когда его дискриминант $D$ отрицателен.
Для уравнения $y^2 - 12y + c = 0$ коэффициенты равны $a=1, b=-12$, а свободный член равен $c$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.
Условие $D < 0$:
$144 - 4c < 0$
$144 < 4c$
$c > 36$
При $c > 36$ уравнение для $y$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение для $y$ имеет только отрицательные корни.
Для того чтобы у квадратного уравнения были действительные корни, необходимо, чтобы $D \geq 0$, то есть $144 - 4c \geq 0$, что означает $c \leq 36$.
Чтобы оба корня $y_1$ и $y_2$ были отрицательными, по теореме Виета их сумма должна быть отрицательной, а произведение — положительным.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -(-12)/1 = 12$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = c/1 = c$.
Условие, что оба корня отрицательны, требует, чтобы их сумма была отрицательной ($y_1 + y_2 < 0$).
Однако сумма корней равна 12, что является положительным числом. Это означает, что случай, когда оба корня отрицательны, невозможен. Если у уравнения для $y$ есть действительные корни (при $c \leq 36$), то по крайней мере один из них будет неотрицательным.

Следовательно, единственное условие, при котором исходное уравнение не имеет корней, — это когда уравнение для $y$ не имеет действительных корней.
Ответ: $c > 36$.

б) $x^4 + cx^2 + 100 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \geq 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + cy + 100 = 0$.

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней, если это квадратное уравнение для $y$ не имеет неотрицательных корней. То есть, либо у него нет действительных корней вообще, либо все его действительные корни отрицательны.

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Дискриминант $D$ должен быть отрицательным.
Для уравнения $y^2 + cy + 100 = 0$ коэффициенты равны $a=1, b=c, c=100$.
$D = b^2 - 4ac = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = c^2 - 400$.
Условие $D < 0$:
$c^2 - 400 < 0$
$c^2 < 400$
$-20 < c < 20$.
При $c \in (-20, 20)$ уравнение для $y$ не имеет действительных корней, следовательно, исходное уравнение также не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.
Для этого должны выполняться одновременно три условия:
1. Дискриминант неотрицателен: $D \geq 0 \implies c^2 - 400 \geq 0 \implies c \geq 20$ или $c \leq -20$.
2. По теореме Виета, произведение корней положительно: $y_1 \cdot y_2 = 100/1 = 100$. Условие $100 > 0$ выполняется всегда, что означает, что корни имеют одинаковый знак.
3. По теореме Виета, сумма корней отрицательна: $y_1 + y_2 = -c/1 = -c$. Условие $y_1 + y_2 < 0$ означает $-c < 0$, то есть $c > 0$.
Чтобы найти значения $c$, при которых все три условия выполняются, объединим условия 1 и 3: нам нужно, чтобы ($c \geq 20$ или $c \leq -20$) и одновременно $c > 0$.
Пересечением этих множеств является $c \geq 20$.
При $c \geq 20$ оба корня уравнения для $y$ будут отрицательными, а значит, исходное уравнение не будет иметь действительных корней.

Теперь объединим результаты обоих случаев. Исходное уравнение не имеет корней, если:
- $-20 < c < 20$ (из случая 1)
ИЛИ
- $c \geq 20$ (из случая 2)
Объединение этих двух множеств дает интервал $c > -20$.
Ответ: $c > -20$.

382. (Задача-исследование.) При каких значениях $k$ биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + k = 0$:

а) имеет четыре корня;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

1) Обозначьте $x^2$ через $y$. Выясните, при каких значениях $k$ полученное квадратное уравнение: имеет два корня, имеет один корень, не имеет корней.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной $y$, если корни существуют.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения $k$.

Данное уравнение $x^4 - 13x^2 + k = 0$ является биквадратным. Для его исследования мы будем следовать предложенному плану.

1) Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение: имеет два корня, имеет один корень, не имеет корней.

Выполним замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то для переменной $y$ должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 13y + k = 0$

Количество действительных корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 169 - 4k$

• Квадратное уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $169 - 4k > 0$, откуда $k < \frac{169}{4}$ или $k < 42.25$.
• Квадратное уравнение имеет один корень (два совпадающих) при $D = 0$, то есть $169 - 4k = 0$, откуда $k = \frac{169}{4}$ или $k = 42.25$.
• Квадратное уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$, то есть $169 - 4k < 0$, откуда $k > \frac{169}{4}$ или $k > 42.25$.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

Если корни $y_1$ и $y_2$ существуют (т.е. при $k \le 42.25$), их знаки можно определить с помощью теоремы Виета:

$y_1 + y_2 = 13$

$y_1 \cdot y_2 = k$

Сумма корней $y_1 + y_2 = 13$ положительна, следовательно, не могут быть оба корня отрицательными. По крайней мере один из них положителен.

Рассмотрим знаки корней в зависимости от знака $k$:

• Если $k > 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 > 0$, значит, оба корня имеют одинаковый знак. Так как их сумма положительна, то оба корня $y_1$ и $y_2$ — положительные. Это соответствует интервалу $0 < k < 42.25$ (два различных положительных корня) и значению $k = 42.25$ (один положительный корень кратности 2, $y=6.5$).
• Если $k = 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 = 0$, значит, один из корней равен нулю. Так как сумма равна 13, второй корень равен 13. Итак, $y_1 = 0, y_2 = 13$. Один корень равен нулю, другой — положительный.
• Если $k < 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Один корень положительный, а другой — отрицательный.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Теперь мы можем определить количество корней $x$ исходного уравнения, анализируя корни $y$ вспомогательного уравнения. Напомним, что $x^2 = y$.

• Если $y > 0$, уравнение $x^2 = y$ имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{y}$.
• Если $y = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень: $x = 0$.
• Если $y < 0$, уравнение $x^2 = y$ не имеет действительных корней.

На основе этого анализа дадим ответы на поставленные в задаче вопросы.

а) имеет четыре корня

Исходное уравнение имеет четыре различных корня, если вспомогательное уравнение для $y$ имеет два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0, y_1 \ne y_2$).
Из пункта 1, для наличия двух различных корней необходимо, чтобы $D > 0$, то есть $k < 42.25$.
Из пункта 2, для того чтобы оба корня были положительны, необходимо, чтобы их произведение было положительным, то есть $k > 0$.
Объединяя эти два условия, получаем: $0 < k < 42.25$.

Ответ: $k \in (0; 42.25)$.

б) имеет два корня

Исходное уравнение имеет два различных корня в следующих случаях:

1. Вспомогательное уравнение для $y$ имеет один положительный корень кратности 2. Это происходит, когда $D=0$, то есть $k = 42.25$. В этом случае $y = 6.5 > 0$, и уравнение $x^2 = 6.5$ дает два корня $x = \pm\sqrt{6.5}$.
2. Вспомогательное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Из пункта 2 это происходит, когда $k < 0$. Положительный корень $y_1$ дает два корня $x = \pm\sqrt{y_1}$, а отрицательный корень $y_2$ не дает действительных корней для $x$.

Объединяя оба случая, получаем, что биквадратное уравнение имеет два корня при $k < 0$ или при $k = 42.25$.

Ответ: $k \in (-\infty; 0) \cup \{42.25\}$.

в) не имеет корней

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если вспомогательное уравнение для $y$ не имеет неотрицательных корней (то есть все корни $y$ отрицательны, или действительных корней $y$ не существует).

1. Вспомогательное уравнение не имеет действительных корней. Из пункта 1 это происходит при $D < 0$, то есть $k > 42.25$.
2. Вспомогательное уравнение имеет действительные корни, но они все отрицательны. Из пункта 2 мы знаем, что это невозможно, так как сумма корней $y_1+y_2 = 13$ положительна.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только при $k > 42.25$.

Ответ: $k \in (42.25; +\infty)$.

383. Найдите общие решения неравенств $x^2 + 6x - 7 \le 0$ и $x^2 - 2x - 15 \le 0$.

Для того чтобы найти общие решения, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение их множеств решений. Это эквивалентно решению системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 6x - 7 \le 0 \\ x^2 - 2x - 15 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 6x - 7 \le 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут не положительными ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-7, 1]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ также является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $ \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [-3, 5]$.

3. Найдем общие решения

Общие решения системы неравенств — это пересечение найденных множеств решений: $[-7, 1] \cap [-3, 5]$. Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $-7 \le x \le 1$ и $-3 \le x \le 5$.

Изобразив эти два отрезка на числовой прямой, мы увидим, что их общая часть — это отрезок от $-3$ до $1$. Математически, пересечение интервалов $[\text{a}, \text{b}]$ и $[\text{c}, \text{d}]$ это $[\max(\text{a}, \text{c}), \min(\text{b}, \text{d})]$.

$\max(-7, -3) = -3$

$\min(1, 5) = 1$

Следовательно, общим решением является отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $[-3, 1]$

384. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0, \\ x > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 1 < 0, \\ 2x^2 - 18 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 4 > 0, \\ 3x^2 - 15x < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0, \\ x > 0; \end{cases} $$
Сначала решим первое неравенство: $4x^2 - 27x - 7 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 27x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 4 > 0$), ветви параболы $y = 4x^2 - 27x - 7$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1/4) \cup (7; +\infty)$.
Теперь учтем второе неравенство системы: $x > 0$.
Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1/4) \cup (7; +\infty)$ и $(0; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases} $$
Сначала решим первое неравенство: $-3x^2 + 17x + 6 < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 17x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 17x - 6 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 289 + 72 = 361$.
$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 17x - 6$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому неравенство $3x^2 - 17x - 6 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$.
Теперь учтем второе неравенство системы: $x < 0$.
Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.
Пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + 1 < 0, \\ 2x^2 - 18 > 0; \end{cases} $$
Решим первое неравенство: $x + 1 < 0$, откуда получаем $x < -1$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1)$.
Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 > 0$.
Разделим обе части на 2: $x^2 - 9 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.
Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x = 3$ и $x = -3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -1)$ и $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 4 > 0, \\ 3x^2 - 15x < 0. \end{cases} $$
Решим первое неравенство: $x - 4 > 0$, откуда получаем $x > 4$.
Решение первого неравенства: $x \in (4; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $3x^2 - 15x < 0$.
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x - 5) < 0$.
Корни уравнения $3x(x-5) = 0$ равны $x=0$ и $x=5$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 15x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (0; 5)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(4; +\infty)$ и $(0; 5)$.
Пересечением является интервал $(4; 5)$.
Ответ: $x \in (4; 5)$.

385. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Решением первого неравенства является интервал $x \in (-3, 2)$.

2. Теперь решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Решением второго неравенства является интервал $x \in (-1, 3)$.

3. Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-3, 2) \cap (-1, 3)$.

Найдя пересечение этих двух интервалов, получаем итоговый интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Решением первого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Решением второго неравенства является интервал $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и интервала решений второго неравенства: $((-\infty, -5) \cup (1, \infty)) \cap (-2, 4)$.

Пересечение интервала $(-\infty, -5)$ с интервалом $(-2, 4)$ является пустым множеством.

Пересечение интервала $(1, \infty)$ с интервалом $(-2, 4)$ дает интервал $(1, 4)$.

Таким образом, решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.