Номер 381, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

381. При каких значениях c не имеет корней уравнение:

a) $x^4 - 12x^2 + c = 0$;

б) $x^4 + cx^2 + 100 = 0?$

а) $x^4 - 12x^2 + c = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то должно выполняться условие $y \geq 0$.
После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 12y + c = 0$.

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней для $x$, если полученное квадратное уравнение для $y$:
1. Не имеет действительных корней.
2. Имеет только отрицательные действительные корни (поскольку $y = x^2$ не может быть отрицательным).

Рассмотрим эти два случая.
Случай 1: Квадратное уравнение для $y$ не имеет действительных корней.
Это происходит, когда его дискриминант $D$ отрицателен.
Для уравнения $y^2 - 12y + c = 0$ коэффициенты равны $a=1, b=-12$, а свободный член равен $c$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.
Условие $D < 0$:
$144 - 4c < 0$
$144 < 4c$
$c > 36$
При $c > 36$ уравнение для $y$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение для $y$ имеет только отрицательные корни.
Для того чтобы у квадратного уравнения были действительные корни, необходимо, чтобы $D \geq 0$, то есть $144 - 4c \geq 0$, что означает $c \leq 36$.
Чтобы оба корня $y_1$ и $y_2$ были отрицательными, по теореме Виета их сумма должна быть отрицательной, а произведение — положительным.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -(-12)/1 = 12$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = c/1 = c$.
Условие, что оба корня отрицательны, требует, чтобы их сумма была отрицательной ($y_1 + y_2 < 0$).
Однако сумма корней равна 12, что является положительным числом. Это означает, что случай, когда оба корня отрицательны, невозможен. Если у уравнения для $y$ есть действительные корни (при $c \leq 36$), то по крайней мере один из них будет неотрицательным.

Следовательно, единственное условие, при котором исходное уравнение не имеет корней, — это когда уравнение для $y$ не имеет действительных корней.
Ответ: $c > 36$.

б) $x^4 + cx^2 + 100 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \geq 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + cy + 100 = 0$.

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней, если это квадратное уравнение для $y$ не имеет неотрицательных корней. То есть, либо у него нет действительных корней вообще, либо все его действительные корни отрицательны.

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Дискриминант $D$ должен быть отрицательным.
Для уравнения $y^2 + cy + 100 = 0$ коэффициенты равны $a=1, b=c, c=100$.
$D = b^2 - 4ac = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = c^2 - 400$.
Условие $D < 0$:
$c^2 - 400 < 0$
$c^2 < 400$
$-20 < c < 20$.
При $c \in (-20, 20)$ уравнение для $y$ не имеет действительных корней, следовательно, исходное уравнение также не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.
Для этого должны выполняться одновременно три условия:
1. Дискриминант неотрицателен: $D \geq 0 \implies c^2 - 400 \geq 0 \implies c \geq 20$ или $c \leq -20$.
2. По теореме Виета, произведение корней положительно: $y_1 \cdot y_2 = 100/1 = 100$. Условие $100 > 0$ выполняется всегда, что означает, что корни имеют одинаковый знак.
3. По теореме Виета, сумма корней отрицательна: $y_1 + y_2 = -c/1 = -c$. Условие $y_1 + y_2 < 0$ означает $-c < 0$, то есть $c > 0$.
Чтобы найти значения $c$, при которых все три условия выполняются, объединим условия 1 и 3: нам нужно, чтобы ($c \geq 20$ или $c \leq -20$) и одновременно $c > 0$.
Пересечением этих множеств является $c \geq 20$.
При $c \geq 20$ оба корня уравнения для $y$ будут отрицательными, а значит, исходное уравнение не будет иметь действительных корней.

Теперь объединим результаты обоих случаев. Исходное уравнение не имеет корней, если:
- $-20 < c < 20$ (из случая 1)
ИЛИ
- $c \geq 20$ (из случая 2)
Объединение этих двух множеств дает интервал $c > -20$.
Ответ: $c > -20$.