Номер 378, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

378. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть строго положительным, поскольку оно находится в знаменателе. Деление на ноль недопустимо, и корень можно извлекать только из неотрицательного числа.

Следовательно, необходимо решить строгое неравенство:

$144 - 9x^2 > 0$

Вынесем 9 за скобки:

$9(16 - x^2) > 0$

Разделим обе части на 9:

$16 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 16$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-4 < x < 4$

Таким образом, область определения функции — это интервал от -4 до 4, не включая концы.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{16 - 24x + 9x^2}{x + 2}}$ находится из системы условий:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{16 - 24x + 9x^2}{x + 2} \ge 0$.

2. Знаменатель дроби под корнем не должен равняться нулю: $x + 2 \ne 0$, откуда $x \ne -2$.

Рассмотрим числитель дроби: $16 - 24x + 9x^2$. Перепишем его в стандартном виде $9x^2 - 24x + 16$. Заметим, что это полный квадрат разности:

$9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 = (3x - 4)^2$

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$\frac{(3x - 4)^2}{x + 2} \ge 0$

Числитель $(3x - 4)^2$ является квадратом выражения и поэтому всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$) при любом значении $x$.

Неравенство обращается в равенство, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю).
$(3x - 4)^2 = 0 \Rightarrow 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$.
При $x = \frac{4}{3}$ знаменатель $x+2 = \frac{4}{3} + 2 \ne 0$. Следовательно, $x = \frac{4}{3}$ является решением.

Неравенство будет строгим (дробь будет строго положительной), когда и числитель, и знаменатель положительны. Так как числитель $(3x - 4)^2$ положителен при всех $x \ne \frac{4}{3}$, то для выполнения неравенства достаточно, чтобы знаменатель был положителен:

$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

Объединяя полученные результаты ($x = \frac{4}{3}$ и $x > -2$), получаем, что областью определения функции является множество всех чисел $x$, больших -2. Точка $x=\frac{4}{3}$ уже входит в этот промежуток.

Ответ: $x \in (-2, \infty)$.