Номер 371, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

371. Решите уравнение, используя подстановку $y = x^2$:

a) $\frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0;$

б) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0.$

Исходное уравнение:$ \frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0 $

Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить в виде $2 - x^2 = -(x^2 - 2)$. Преобразуем уравнение, вынеся минус перед дробью:$ \frac{x^4}{x^2 - 2} - \frac{1 - 4x^2}{x^2 - 2} + 4 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 2 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 2$, откуда $x \neq \pm\sqrt{2}$.

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим дроби:$ \frac{x^4 - (1 - 4x^2)}{x^2 - 2} + 4 = 0 $$ \frac{x^4 + 4x^2 - 1}{x^2 - 2} + 4 = 0 $

Согласно условию, введем замену $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$. Также из ОДЗ следует, что $y \neq 2$. Уравнение принимает вид:$ \frac{y^2 + 4y - 1}{y - 2} + 4 = 0 $

Чтобы решить это уравнение, приведем все члены к общему знаменателю $y - 2$:$ \frac{y^2 + 4y - 1 + 4(y - 2)}{y - 2} = 0 $$ \frac{y^2 + 4y - 1 + 4y - 8}{y - 2} = 0 $$ \frac{y^2 + 8y - 9}{y - 2} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю:$ y^2 + 8y - 9 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -9$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 2$:

• $y_1 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполнено, и $1 \neq 2$ также выполнено. Следовательно, этот корень подходит.
• $y_2 = -9$: условие $-9 \ge 0$ не выполнено. Этот корень является посторонним.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $y$: $y=1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:$ x^2 = 1 $Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm\sqrt{2}$).

Ответ: $x = \pm 1$.

Исходное уравнение:$ \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

• $x^2 + 1 \neq 0$: это выражение всегда больше или равно 1, поэтому оно никогда не равно нулю для действительных $x$.
• $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
• $x^4 - 3x^2 - 4 \neq 0$: разложим этот многочлен на множители. Сделав замену $t = x^2$, получим $t^2 - 3t - 4$. Корнями уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$ являются $t_1=4$ и $t_2=-1$. Значит, $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$. Условие $(x^2 - 4)(x^2 + 1) \neq 0$ сводится к уже рассмотренным $x^2-4 \neq 0$ и $x^2+1 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Введем замену $y = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, имеем $y \ge 0$. Из ОДЗ также следует, что $x^2 \neq 4$, то есть $y \neq 4$. Запишем уравнение с новой переменной, используя разложение знаменателя:$ \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y+1)(y-4)$:$ \frac{(y + 3)(y - 4)}{(y+1)(y-4)} + \frac{2(y + 1)}{(y+1)(y-4)} + \frac{10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Теперь мы можем сложить числители:$ \frac{(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$ (y^2 - 4y + 3y - 12) + (2y + 2) + 10 = 0 $$ y^2 - y - 12 + 2y + 12 = 0 $$ y^2 + y = 0 $

Вынесем $y$ за скобки:$ y(y + 1) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Проверим эти корни на соответствие условиям для переменной $y$: $y \ge 0$, $y \neq 4$. Также из знаменателя уравнения с $y$ следует, что $y \neq -1$.

• $y_1 = 0$: условие $0 \ge 0$ выполнено. Условия $0 \neq 4$ и $0 \neq -1$ также выполнены. Этот корень подходит.
• $y_2 = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполнено. Кроме того, это значение делает знаменатель равным нулю, поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение для $y$ - это $y=0$.

Выполним обратную замену:$ x^2 = 0 $$ x = 0 $

Проверим найденный корень по ОДЗ: $0 \neq \pm 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x=0$.