Номер 364, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

364. Решите уравнение:

a) $\frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0;$

б) $\frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0.$

а)

Рассмотрим уравнение: $$ \frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем значения $y$, при которых числитель равен нулю:
$ 3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0 $
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ 3(y^3 + 4y^2 - 9y - 36) = 0 $
$ y^3 + 4y^2 - 9y - 36 = 0 $
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$ (y^3 + 4y^2) - (9y + 36) = 0 $
$ y^2(y + 4) - 9(y + 4) = 0 $
$ (y^2 - 9)(y + 4) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$ y^2 - 9 = 0 \implies y^2 = 9 \implies y = 3 $ или $ y = -3 $.
$ y + 4 = 0 \implies y = -4 $.
Таким образом, потенциальные корни уравнения: $3, -3, -4$.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), определив, при каких значениях $y$ знаменатель не равен нулю:
$ y^2 - 16 \neq 0 $
$ y^2 \neq 16 $
$ y \neq 4 $ и $ y \neq -4 $.

3. Сравним корни, полученные из числителя, с ОДЗ. Корень $y = -4$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, следовательно, это посторонний корень. Корни $y = 3$ и $y = -3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y = -3, y = 3$.

б)

Рассмотрим уравнение: $$ \frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0 $$ Это рациональное уравнение. Оно равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:
$ y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0 $
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$ (y^3 + 6y^2) - (y + 6) = 0 $
$ y^2(y + 6) - 1(y + 6) = 0 $
$ (y^2 - 1)(y + 6) = 0 $
$ (y - 1)(y + 1)(y + 6) = 0 $
Отсюда получаем три возможных корня: $ y = 1, y = -1, y = -6 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ y^3 - 36y \neq 0 $
Вынесем общий множитель $y$:
$ y(y^2 - 36) \neq 0 $
$ y(y - 6)(y + 6) \neq 0 $
Это означает, что $ y \neq 0, y \neq 6, y \neq -6 $.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $y = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель равен нулю, поэтому это посторонний корень. Корни $y = 1$ и $y = -1$ входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: $y = -1, y = 1$.